Page 273 - 8_sf_Dahimatik

˙
˙
˙
272 DAHIMATIK - Matematik Yarı¸smalarına Ilk Adım M.Özdemir
18
jx 5j + j3 xj = 2 denkleminin kaç ifadesinin en
jx 1j + jx 5j + jx 13j
tamsayı çözümü vardır?
büyük de˘ geri kaçtır?
Denklemi a¸sa˘ gıdaki üç durum için
Bu ifadenin en büyük de˘ geri için, payda en
inceleyece˘ giz.
küçük olmalıdır. Paydadaki mutlak de˘ gerli ifadeleri 0
i) x 3 ii) 3 < x < 5 iii) 5 x
yapan de˘ gerleri sayı do˘ grusu üzerinde gösterelim.
Bu üç duruma teker teker bakalım.
i) x 3 ise, 1 5 13
A B C
x + 5 + 3 x = 2
e¸sitli˘ ginden x = 3 çözümü elde edilir. ¸ Simdi bu sayı do˘ grusu üzerinde öyle bir x noktası
ii) 3 < x < 5 ise, seçece˘ giz ki, payda bu x de˘ geri için en küçük olsun.
Seçece˘ gimiz bu nokta, B haricinde bir nokta olursa,
x + 5 3 + x = 2;
bulunan uzunluk [AC] uzunlu˘ gundan büyük olacaktır.
yani 2 = 2 oldu˘ gundan, 3 < x < 5 aralı˘ gındaki her O halde, seçmemiz gereken nokta B noktası, yani
reel sayı bir çözümdür. x = 5 de˘ geri olmalıdır. Böylece, en büyük de˘ ger,
iii) 5 x ise, 18 3
x 5 3 + x = 2 4 + 0 + 8 = 2
e¸sitli˘ ginden, x = 5 çözümü elde edilir. bulunur.
Denklemin tamsayı çözümlerini aradı˘ gımızdan, x = 3;
x = 5 ve x = 4 çözüm olur.
0 < p < 15 ve p x 15 oldu˘ guna göre,
jx 1j + j2 xj = 3 denkleminin kaç jx pj + jx 15j + jx p 15j
tamsayı çözümü vardır? ifadesinin minimum de˘ geri kaçtır? (AIME 1983)

jx pj = x p;
jx 15j = 15 x;
jx p 15j = 15 x + p
Yanıt : 2. f0 ve 3g :
oldu˘ gundan
jx pj + jx 15j + jx p 15j = 30 x
elde edilir ve x = 15 için 15 minimum de˘ geri elde edilir.

2
x + 5x 1 1 1 1 = x 4
denkleminin kaç çözümü vardır?
a; b; c; d farklı pozitif tamsayılar olmak
üzere,
E¸sitli˘ gin sol tarafı pozitif oldu˘ gundan sa˘ g 1 1 1 1
tarafı da pozitif olmalıdır. Buna göre, x 4 > 0 + + + 2
a b c d
e¸sitsizli˘ ginden x > 4 olur. O halde, e¸sitli˘ gin sol
tarafında ifadesinin alabilece˘ gi minimum de˘ ger kaçtır?
2
x + 5x 1 > 16 + 20 1 = 35
Verilen ifade mutlak de˘ gerli oldu˘ gundan
oldu˘ gundan, mutlak de˘ gerlerin tümünün içi pozitif
negatif olamaz. En küçük de˘ gerinin 0 olabilmesi için,
olacaktır. Yani sol taraftaki mutlak de˘ gerlerin tümünü
1 1 1 1
kaldırabiliriz. + + + = 2
a b c d
2
x + 5x 4 = x 4
olacak ¸sekilde a; b; c; d olması gerekir.
e¸sitli˘ ginden, a = 1; b = 2; c = 3 ve d = 6
2
x + 5x = 0 alırsak
buradan da x = 0 veya x = 5 elde edilir, ki x > 4 1 + 1 + 1 + 1 = 2
olması gerekti˘ ginden, iki de˘ ger de çözüm olamaz. 1 2 3 6
Denklemin çözümü yoktur. olaca˘ gından, verilen ifadenin en küçük de˘ geri 0’dır.