Page 274 - 8_sf_Dahimatik

˙
˙
˙
DAHIMATIK - Matematik Yarı¸smalarına Ilk Adım 273
n 1 ; n 2 ; n 3 ; n 4 ; n 5 farklı do˘ gal sayılar
olmak üzere,
jx 100j + jx 101j + jx + 101j + jx + 100j = c
1 1 1 1 1
+ + + + 1 denkleminin tek çözümü oldu˘ gunu biliyoruz. Buna

n 1 n 2 n 3 n 4 n 5
göre, c sayısını bulunuz.
ifadesinin alabilece˘ gi en küçük de˘ ger kaçtır? (U ˙ IMO -
2005)

Yanıt : c = 402:

1 1 1 1 1
Yanıt : 0. + + + + = 1 :
2 3 12 16 48
2 jxj+2 = jx + 1j + jx 1j denklemini
sa˘ glayan kaç x reel sayısı vardır?

Verilen denklemde, jxj > 1 ise sa˘ g taraf
2’den büyük, sol taraf ise 2’den küçük olacaktır. Yani
çözüm yoktur. O halde, jxj 1 olmalıdır. Bu durumda,
sa˘ g taraf 2 olur. Buna göre, denklem
1
2 jxj+2 = 2 yani, jxj + 2 = 1
biçimine dönü¸sür. Bu denklemden de, jxj = 1 olur.
F Simetrik Mutlak De˘ gerli Denklemler F
Yani verilen denklemin kökleri x = 1 ve x = 1
olarak bulunur.

jx kj + jx + kj = c
gibi, simetrik mutlak de˘ gerli denklemlerde, a bir
çözümse a’da bir çözümdür. Örne˘ gin,
jx 2j + jx + 2j = 6
denklemini hem x = 3; hem de x = 3 sa˘ glar.
jxj x + y = 10 ve x + jyj + y = 12
oldu˘ guna x + y toplamını bulunuz.

x; y > 0 olursa,
y = 10 ve x + 2y = 12
denklemlerinden x = 8 < 0 çeli¸skisi elde edilir.
x; y < 0 olursa,
2x + y = 10 ve x = 12
denklemlerinden y = 34 olur, fakat, denklem
sa˘ glanmaz.
jx 1j + jxj + jx + 1j = c denkleminin tek
x > 0; y < 0 olursa,
çözümü oldu˘ gunu biliyoruz. Buna göre, c sayısını
bulunuz. y = 10 ve x = 12
elde edilir ki, y > 0 oldu˘ gundan çözüm olamaz.
a verilen denklemin bir kökü olsun, bu x < 0; y > 0 olursa,
durumda a da denklemi sa˘ gladı˘ gından denklemin bir
2x + y = 10 ve x + 2y = 12
köküdür. Denklemin tek kökü oldu˘ guna göre, a = a
olmalıdır. Buradan, 2a = 0 e¸sitli˘ ginden a = 0 olur. Bu sistemi elde edilir ki, x = 8=5 ve y = 34=5 bulunur.
de˘ geri denklemde yazarsak, Bu de˘ gerler denklemi sa˘ glarlar. O halde, x + y = 26=5
bulunur.
c = j0 1j + j0j + j0 + 1j = 2
bulunur.