Page 276 - 8_sf_Dahimatik

˙
˙
˙
DAHIMATIK - Matematik Yarı¸smalarına Ilk Adım 275
p p
x 1 + x + 4 = 5 denkleminin A¸sa˘ gıdaki sorularda
q
köklerini bulunuz. p p p
a + b + 2 a b = a + b
e¸sitli˘ gi ile çözülebilen denklemler verilmi¸stir.

p p p p
x + 4 x 4 x + 2 x 1 = 1
Yanıt : x = 5: denkleminin farklı gerçel çözümlerinin sayısı
nedir? (UMO - 1998)

q
p p p
a + b + 2 a b = a + b
r r r
1 4 9 e¸sitli˘ gi kullanılacaktır.
1 + 4 = 3 9
x x x q p q p p p
x + 4 x 4 = x + 2 4 (x 4) = 4+ x 4
2
ise, x + =? (U ˙ IMO - 1996)
3 ve
q p p p
Verilen denklem düzenlenirse, x + 2 x 1 = 1 + x 1
s s
r
1 1 1 oldu˘ gundan,
1 + 4 1 = 3 9 1 p p
x x x 2 + x 4 1 x 1 = 1
r r r
1 1 1 denkleminden,
1 + 2 1 = 3 3 1 p p
x x x x 4 = x 1
r
1 olur. Buradan, 4 = 1 çeli¸skisi elde edilir. O halde,
6 1 = 3
x denklemin çözümü yoktur.
elde edilir. Son e¸sitli˘ gin her iki tarafının karesi alınırsa,
1 1 4
1 = veya x = olur. Böylece,
x 4 3
2 4 2
x + = + = 2
3 3 3
q q
bulunur. p p
x + 1 4 x 3 + x + 6 6 x 3 = 1
denklemini sa˘ glayan kaç x gerçel sayısı vardır?
(UMO - 2003)
p x p
(x x) = x x x denkleminin gerçel (reel)
çözümlerinin toplamı nedir? (UMO - 2000)
p x p q q
p
(x x) = x x x ise, x + 1 2 p 4 (x 3)+ x + 6 2 9 (x 3) = 1
p x p x x
x x = (x ) denklemini

p p p p

ve buradan, x 3 4 + x 3 9 = 1
p p x p
x x = x ¸ seklinde yazabiliriz. x 3 = y diyelim. Bu
durumda,
olması gerekir. Buna göre,
p jy 2j + jy 3j = 1
x 3=2 = x x
olur ki, bu e¸sitlikte, x = 1 denklemi sa˘ glar. Di˘ ger olur. 2 y 3 için, 1 = 1 sa˘ glanır. O halde,
p p
taraftan üslerin e¸sitli˘ ginden, x = 3=2 olursa, x = 9=4 2 x 3 3
olur. Böylece, denklemi sa˘ glayan x de˘ gerlerinin
e¸sitsizli˘ ginden
toplamı,
7 x 12
1 + 9=4 = 13=4
olmalıdır. Bu aralıkta sonsuz sayıda x gerçel sayısı
bulunur. vardır.