Page 277 - 8_sf_Dahimatik

˙
˙
˙
276 DAHIMATIK - Matematik Yarı¸smalarına Ilk Adım M.Özdemir
p p
2
2
2
x + 3 4 x 1 + 2x + 16y + 8z = 18 denkleminin
p p
x + 8 6 x 1 = 1 denkleminin reel tamsayılarda kaç tane çözümü vardır?
çözümlerinin sayısı kaçtır? (UAMO - 1999)

2
2
Yanıt : 2x 10 (mod 8) ise x 5 (mod 8) mümkün
de˘ gil. Çözüm yok.

Yanıt : Sonsuz çözüm vardır. ([5; 10] kapalı aralı˘ gındaki her
x de˘ geri bir çözümdür.)

0 < x < 1 olmak üzere,
q q
p p
2 3 2 3
x + 2 x + x x 2 x + x = 5
denkleminin kaç reel kökü vardır? 2 2 2 2
x + (x + 1) + (x + 2) = y
denkleminin x; y tamsayı olacak ¸sekilde kaç tane
(x; y) çözüm takımı vardır? (UMO - 1993)

Parantezleri açarsak,
2
2
2
x + (x + 1) + (x + 2) = y 2
2
2
2
x + x + 2x + 1 + x + 4x + 4 = y 2
2
3x + 6x + 5 = y 2
p p p p
2

2
3
Yanıt : 0. ( x 2 x + x = x x )
olur. ¸Simdi bu denklemi mod 3’te göz önüne alırsak,
2
y 2 (mod 3)
elde edilir. Bir sayının karesi mod 3’te asla 2
olamayaca˘ gından bu denklemi sa˘ glayan (x; y) tamsayı
çifti yoktur.
Modüler Aritmeti˘ gin Denklemlerde
Kullanılması
3
3
x 13y = 1453 e¸sitli˘ gini sa˘ glayan
(x; y) tamsayı sıralı ikililerinin sayısını bulunuz.
(UMO - 2002)
2
2
13x + 4y = 27
denkleminin tamsayılarda kaç tane çözümü vardır?
Denklemi mod 4’te yazarsak;
2
x 3 (mod 4) 3
Yanıt : 0, (x 10 (mod 13) olmalı, fakat,
elde edilir. Bir sayının karesi mod4’te 3 olamaz. O x 1; 5; 8; 1 (mod 13) olabilir.)
3
halde denklemin çözümü yoktur.