Page 278 - 8_sf_Dahimatik

˙
˙
˙
DAHIMATIK - Matematik Yarı¸smalarına Ilk Adım 277
x; y; z tamsayıları;

2
2
5x + 4y = 61 x 3y + 2z = 1
2x + y 5z = 7
denkleminin tamsayılarda kaç tane çözümü vardır?
denklem sistemini sa˘ glıyorsa z sayısı
Denklemi mod 5’te yazarsak; 3 111 ; 4 111 ; 5 111 ve 6 111
2
4y 1 (mod 5) de˘ gerlerinden hangisi olabilir? (UMO - 1999)
2
ise, y 4 (mod 5) elde edilir. Buradan;
Bilinmeyenlerden x’i yok edelim. Bunun
y 2 (mod 5) veya y 3 (mod 5) için,
2
2
elde edilir. Di˘ ger taraftan; x ; y > 0 oldu˘ gundan; x 3y + 2z = 1
2
y 15
denklemini 2 ile çarpıp,
elde edilir. Buna göre; y = 2 veya y = 3 olabilir. 2x + y 5z = 7
Buradan;
y = 2 için, denklemiyle taraf tarafa toplarsak,
2
5x = 45 7y 9z = 5
elde edilir. Bu denklemi mod 7’de göz önüne alalım.
denkleminden, x = 3 olur. Yani 4 çözüm vardır.
y = 3 için, 5z 5 (mod 7)
2
5x = 25 denkli˘ gine göre, z 1 (mod 7) olmalıdır.
3 111 5 111 6 111 6 (mod 7)
2
denkleminden, x = 5 olur. Çözüm yoktur.
Böylece; 4 tane çözüm bulunur. oldu˘ gundan; z bu sayılardan biri olamaz.
4 111 1 (mod 7)
oldu˘ gundan z = 4 111 olabilir.

x
2
2
2
x + y + z = 2xyz 2 + 1 = 3 y
denkleminin tamsayılar kümesinde kaç tane e¸sitli˘ gini sa˘ glayan kaç (x; y) pozitif tamsayı ikilisi
çözümü vardır? vardır? (U ˙ IMO - 2003)
(x; y; z) = (0; 0; 0) denklemin bir x = 1; y = 1 denklemin açık çözümüdür.
çözümüdür. Ba¸ska çözümün olmadı˘ gını görelim. x; y > 1 için çözüm olup olmadı˘ gını arayalım. x > 1
x; y; z sayılarından ya biri ya da üçü çift olmalıdır. ise,
Sadece birinin çift olamayaca˘ gını görelim. Sadece biri 2 0 (mod 4)
x
çift ise;
olaca˘ gından;
2
2
2
x + y + z 2 (mod 4)
y
3 1 (mod 4)
olur. Fakat;
olmalıdır ki; bu y çift iken mümkün olabilir. O halde;
2xyz 0 (mod 4) y = 2k (k 2 Z ) diyelim. Bu durumda;
+

k
olaca˘ gından; bu mümkün de˘ gildir. O halde; x; y; z 2 = 3 2k 1 = 3 1 3 + 1
k
x
sayıları çifttir. k k
e¸sitli˘ ginde 3 1 ile 3 + 1 sayıları; ardı¸sık iki
x = 2x 1 ; y = 2y 1 ve z = 2z 1 çift sayıdır. 2 ile 4 haricindeki tüm ardı¸sık çift sayıların
olsun. Denklemde yerine yazarsak; 2’den farklı asal çarpanları olacaktır. O halde;
2 2 2 k k
1
x + y + z = 4x 1 y 1 z 1 3 1 = 2 ve 3 + 1 = 4
1
1
k
elde edilir. Benzer dü¸sünce ile; x 1 ; y 1 ve z 1 çift haricinde çözüm olamaz. Buradan; 3 = 3 ise, k = 1
olmalıdır. Bu ¸sekilde devam edilerek; bilinmeyenlerin ve buradan y = 2 ve x = 3 elde edilir. Böylece;
her defasında çift olması gerekti˘ gi görülür. Bu (0; 0; 0) denklemin (x; y) çözümleri; (1; 1) ve (3; 2) olarak
haricinde mümkün de˘ gildir. bulunur.