Page 279 - 8_sf_Dahimatik

˙
˙
˙
278 DAHIMATIK - Matematik Yarı¸smalarına Ilk Adım M.Özdemir
Faktöriyelli Denklemler n! = a! + b! + c! denkleminin kaç çözümü
vardır? (KANADA M.O 1983)

Denkleme göre, a; b, c < n olaca˘ gı açıktır.
a
b
2 + 2 = c! Buna göre,
a; b; c n 1
denklemini sa˘ glayan kaç (a; b; c) negatif olmayan
tamsayı üçlüsü vardır? (Harvard MIT Math. ve dolayısıyla da,
Tournament 2003)
a! + b! + c! 3 (n 1)!
Sol taraf asla 7’ye bölünemeyece˘ ginden, olacaktır. n > 3 için,
c 6 olabilir. Buna göre, kontrol edilirse, n! > 3 (n 1)!
c = 2 için, (a; b) = (0; 0) ;
olaca˘ gından, n > 3 için çözüm yoktur (n sayısının
c = 3 için, (a; b) 2 f(1; 2) ; (2; 1)g ;
nasıl sınırlandı˘ gını inceleyiniz.)
c = 4 için, (a; b) 2 f(3; 4) ; (4; 3)g
O halde, n = 1; 2 veya 3 olabilir. Kontrol edilirse,
elde edilir. Yanıt 5.
3! = 2! + 2! + 2!
oldu˘ gundan n = 3 için denklemin sadece bir çözümü
oldu˘ gu görülür.

m; n 0 için,
3
6
m! + n = n + 8m + 1
e¸sitli˘ gini sa˘ glayan kaç farklı (m; n) tamsayı çifti
vardır? (Sabancı Ün. Mat. Y. - 2009) xy iki basamaklı bir sayı oldu˘ guna göre,
x! + y! = xy
Verilen e¸sitli˘ gi,
denkleminin kaç çözümü vardır?
6
m! (8m + 1) = n n 3
biçiminde yazalım. 5! = 120 oldu˘ gundan, x ve y rakamları
5’ten küçük olmalıdır. Yine, sonucun iki basamaklı
olabilmesi için,
i) m 2 ise, m! çift sayıdır.
i) rakamlardan biri 1 veya 2 ise di˘ geri ancak 4
8m + 1
olabilir. Fakat 14, 24, 41 ve 42 denklemi sa˘ glamazlar.
ise tek sayı oldu˘ gundan, e¸sitli˘ gin sol tarafı kesinlikle ii) rakamlardan biri 3 ise, di˘ geri ancak 3 veya 4
bir tek sayı olur. Di˘ ger taraftan, olabilir. Fakat, 33,34,43 denklemi sa˘ glamazlar.
6
n n 3 iii) Rakamlardan biri 4 ise, 40, 41, 42, 43, 44’ün
hiçbiri denklemi sa˘ glamaz.
ifadesi n tek iken de, n çift iken de bir çift sayıdır.
Yani, denklemin çözümü yoktur.
Dolayısıyla, m 2 için çözüm yoktur.
ii) m = 1 ise,
6
8 = n n 3 x! = y! + z! denkleminin bir çözümü
olabilmesi için, x 2 olması gerekti˘ gini gösteriniz.
elde edilir. Bu e¸sitli˘ gi sa˘ glayan bir n tamsayısı
Denklemi sa˘ glayan kaç (x; y; z) üçlüsü vardır.
bulunamaz.
iii) m = 0 ise, 0! = 1 oldu˘ gu da gözönüne alınırsa,
6
0 = n n 3
bulunur. Bu e¸sitli˘ gi sa˘ glayan n tamsayı de˘ gerleri n = 0
ve n = 1’dir.
O halde, verilen denklemi sa˘ glayan (m; n) tamsayı Yanıt : y! + z! 2 (x 1)! ise, x > 2 için, x! > 2 (x 1)!
ikilileri olur ki, e¸sitlik sa˘ glanmaz. O halde, x > 2 için çözüm
(0; 0) ve (0; 1) yoktur. (x; y; z), çözümleri, (2; 0; 0) ; (2; 1; 0) ; (2; 0; 1) ve
(2; 1; 1) olabilir.
bulunur.