Page 280 - 8_sf_Dahimatik

˙
˙
˙
DAHIMATIK - Matematik Yarı¸smalarına Ilk Adım 279
a, b, c ; 1’den büyük tamsayılar olmak Her bir terimi 10’dan küçük veya
üzere, a! = b!c! denkleminin kaç çözümü vardır? e¸sit olan a 1 ; a 2 ; :::; a n pozitif tamsayı dizisi için,
(UMO - 2005) a 1 ! + a 2 ! + + a n ! ifadesinin 1000’e tam
bölünebilmesi için, n en küçük kaç olmalıdır?
b! = n diyelim. a! = n c!’dir.
n (n 1)! = n!
oldu˘ gu göz önüne alınırsa, c = (n 1) alınabilir. Bu
durumda, a = n olur. Yani,
a = n; b! = n ve c = n 1
olacak ¸sekilde n’ye ba˘ glı sonsuz çoklukta çözüm elde Yanıt : 2. (5! + 9!).
edilebilir. Örne˘ gin,
n = 6 alınırsa, b = 3; a = 6 ve c = 5 veya
n = 24 alınırsa, b = 4; a = 24 ve c = 23 olur.
Kaç n pozitif tamsayısı için,
n! + 24
x! = 30 y! denklemini sa˘ glayan kaç bir tamsayının karesine e¸sit olur? (U ˙ IMO - 2007)
farklı (x; y) ikilisi vardır?
2
n! + 24 = x olacak ¸sekilde x sayılarını
arıyoruz.
i) n = 1 için, x = 5 ve n = 5 için, x = 12 olaca˘ gını
kolayca görebiliriz.
ii) n = 2; n = 3 ve n = 4 içinse x tamsayı olamaz.
iii) n 6 için x de˘ geri bulunamayaca˘ gını görelim.
Yanıt : (30; 29) ; (6; 4) : Gerçekten,
24 5 6 n + 24 = 24 ((5 6 n) + 1)
3
= 2 3((5 6 n) + 1)
| {z }
tek sayı
Her bir terimi 10’dan küçük veya e¸sit
ifadesinin tamkare olması için, tüm çarpanların
olan a 1 ; a 2 ; :::; a n pozitif tamsayı dizisi için,
kuvvetleri çift olmalıdır. Fakat, bu mümkün de˘ gildir.
a 1 ! + a 2 ! + + a n ! ifadesinin son üç rakamı 511
Çünkü,
ise, a 1 ; a 2 ; :::; a n sayılarının aritmetik ortalaması
kaçtır? (5 6 n) + 1
sayısı daima bir tek sayı oldu˘ gundan, 2’nin en büyük
10’dan küçük sayıların faktöriyellerinin
kuvveti 3 ve tektir. O halde, istenen ¸sekilde sadece 2
son üç rakama kadar de˘ gerlerini yazalım.
tamsayı vardır.
1! 7! 1; 2! 7! 2; 3! 7! 6; 4! 7! 24; 5! 7! 120;
6! 7! 720; 7! 7! 040; 8! 7! 320; 9! 7! 880;
10! 7! 800; n!(2n + 1) ve 221 sayılarının aralarında
asal olmasını sa˘ glayan kaç n pozitif tamsayısı
Faktöriyellerin son dört rakamının toplamının 511
olmasını istiyoruz. Görüldü˘ gü gibi tüm faktöriyellerde vardır? (UMO - 2007)
son rakamı tek olan sayı sadece 1 oldu˘ gundan
221 = 13 17 oldu˘ gundan dolayı, n > 12
1 kesinlikle olmalıdır. Geriye 510 toplamı kalır.
Buldu˘ gumuz e¸sitliklerden görülür ki, son dört rakamın için, n! sayısı ile 221 aralarında asal olamaz.
toplamı 510 olabilecek sayılar sadece 8!, 7!, 5!, 4! ve O halde, n 12 pozitif tamsayılarını inceleyelim.
3! olabilir. Gerçekten, Ayrıca,
2n + 1 = 13 ise, n = 6 için,
8! + 7! + 5! + 4! + 3! + 1
2n + 1 = 17 ise, n = 8 için de,
sayısının son üç basama˘ gı 511’dir. O halde, aritmetik aralarında asal olamaz. O halde,
ortalamaları
8 + 7 + 5 + 4 + 3 + 1 14 1; 2; 3; 4; 5; 7; 9; 10; 11 ve 12
=
6 3 sayıları için aralarında asaldır. Yani, istenen ¸sekilde 10
bulunur. tane n pozitif tamsayısı vardır.