Page 281 - 8_sf_Dahimatik

˙
˙
˙
280 DAHIMATIK - Matematik Yarı¸smalarına Ilk Adım M.Özdemir
˙
2
n!(4n 1) ve 143 sayılarının aralarında Ikinci Dereceden Bir Denklemin
asal olmasını sa˘ glayan kaç n pozitif tamsayısı vardır? Köklerinin Bulunması
˙ Ikinci dereceden denklemlerin çözümünde, tüm terimler
e¸sitli˘ gin bir tarafında toplanır ve çarpanlara ayrılmaya
çalı¸sılarak denklem çözülmeye çalı¸sılır.
2
2x = 9x 4 denkleminin köklerini
bulunuz.
Yanıt : 7. n 2 f1; 2; 3; 4; 8; 9; 10g :
Tüm terimleri denklemin soluna geçirirsek,
2
2
n!(4n 1) 2x 9x + 4 = 0
ifadesinin tamsayı
143 olur. Çarpanlarına ayırırsak,
olmasını sa˘ glayan 100’den küçük kaç n pozitif
tamsayısı vardır? (2x 1) (x 4) = 0
elde edilir. Bu e¸sitli˘ ge göre,
x 4 = 0; x = 4
veya 2x 1 = 0; x = 1=2 olması gerekir. Denklemin
kökleri, 4 ve 1=2’dir.

Yanıt : 88; n 2 f6; 13; 14; :::; 99g :

n, pozitif bir tamsayı ve p, tamsayı
olmayan bir rasyonel sayı oldu˘ guna göre,
x 1 x + 1
(2n)! = denkleminin köklerini
2
p = 2x 3 x + 3
2000 bulunuz..
e¸sitli˘ gini sa˘ glayan kaç tane pozitif p sayısı vardır?
(UAMO - 2004) ˙ Içler dı¸slar çarpımı yapılırsa,
(x 1) (x + 3) = (x + 1) (2x 3)
Denklemi
2
2
x + 2x 3 = 2x x 3
(2n)!
2
p = olur. Tüm terimleri sa˘ g tarafa geçirirsek,
4
2 5 3
2 2 2
¸ seklinde yazalım. Burada dikkat edilmesi gereken 0 = 2x x 3 x + 2x 3 = x 3x
nokta, p’nin tamsayı olmayan bir rasyonel sayı
elde edilir.
olmasıdır. Buna göre, (2n)! sayısının üç tane 5 çarpanı 2
x 3x = x (x 3) = 0
bulunması durumunda p sayısı tamsayı olur ve ko¸sul
sa˘ glanmaz. Ayrıca, sa˘ g tarafın bir rasyonel sayının e¸sitli˘ ginden, x = 0 veya x = 3 bulunur.
karesi olabilmesi için, sadece bir tane 5’in sadele¸smesi
2
gerekir. Yani paydada, 5 olmalıdır. Dolayısıyla,
5 < 2n < 9
olmalıdır. Böylece,
3 n 4 2x + 1 = 3x 1 denkleminin köklerini
x 1 2x 3
olur. n = 4 için 8! içindeki 7 çarpanı "kareli˘ gi" bulunuz..
bozaca˘ gından, geriye n = 3 olması durumu kalır.
Böylece, n = 3 yazılırsa,
3
p =
5
bulunur. O halde, e¸sitli˘ gi sa˘ glayan sadece bir tane
pozitif p sayısı vardır.
Yanıt : 2 ve 2: