Page 283 - 8_sf_Dahimatik

˙
˙
˙
282 DAHIMATIK - Matematik Yarı¸smalarına Ilk Adım M.Özdemir
2
F Ikinci Dereceden Denklemin Kökleri F x x 3 = 0 denkleminin köklerini
˙

bulunuz.
2
En genel halde ax +bx+c = 0 denkleminin kökleri
p p
2
2
b b 4ac b + b 4ac
x 1 = ve x 2 =
2a 2a
formülleriyle bulunabilir.
2
Kanıt : ax + bx + c = 0 e¸sitli˘ gini a ile bölersek,
b c p p
2
x + x + = 0 1 13 1 + 13
a a Yanıt : ; :
b 2 2 2
olur. Bir tamkare elde etmek için, bu e¸sitli˘ ge ( )
2a
ifadesini ekleyip çıkarırsak,
!
2 2
b b 4ac
x + = 0
2a (2a) 2
˙
olur. Iki kare farkı formülü ile çarpanlara ayırırsak,
p ! p !
2
2
b b 4ac b b 4ac
x + x + + = 0
2a 2a 2a 2a F Diskriminant F

olur. Buradan da,
p p Bir ikinci dereceden köklerinin reel sayı olması için,
2
2
b b 4ac b + b 4ac 2
x 1 = ve x 2 = b 4ac
2a 2a 2
elde edilir. ifadesinin 0’dan büyük olması gerekir. b 4ac ifade-
sine denklemin diskiriminantı denir ve
2
F Son elde etti˘ gimiz formüllerde, 4 = b 4ac
2
b 4ac = ile gösterilir.
ile gösterilir. Buna göre denklemin köklerini kısaca, F 4 > 0 ise denklemin iki kökü vardır.
p p F 4 = 0 ise, denklemin tek kökü vardır. (Çakı¸sık iki
b b +
x 1 = ve x 2 = kök de denilir.)
2a 2a F 4 < 0 ise denklemin reel kökü yoktur.
ile ifade ederiz.
O halde,
2
ax + bx + c = 0
biçimindeki, ikinci dereceden bir denklemin reel kökü
2
yok ise, ax + bx + c = 0 ifadesini reel katsayılı
çarpanlara ayırmamız mümkün de˘ gildir. 4 > 0 olması
durumunda çarpanlara ayırmak mümkündür.
2
x 2x 3 = 0 denkleminin köklerini
bulunuz.
a = 1; b = 2 ve c = 3 oldu˘ gundan,
2
2
= ( 2) 4 1 ( 3) = 16 x x + 1 ifadesinin reel katsayılı
olur ve çarpanlara ayrılamayaca˘ gını gösteriniz.
p
( 2) 16
2
x 1 = = 1, x x + 1 ifadesinde,
2 1
p
( 2) + 16 4 = 1 4 = 3 < 0
x 1 = = 3
2 1 oldu˘ gundan, reel katsayılı çarpanlara ayırmak mümkün
elde edilir. de˘ gildir.