Page 32 - 8_sf_Dahimatik

˙
˙
˙
DAHIMATIK - Matematik Yarı¸smalarına Ilk Adım 31

2n+5; 6n+1; 5n 1 ve 3n 16 sayılarının F Iki sayının toplamının veya farkının karesi F
˙
dördü de asal sayı olacak ¸sekilde kaç n pozitif
tamsayısı vardır? ˙ Iki sayının toplamının veya farkının karesini a¸sa˘ gıdaki
gibi açarız.
Bu dört sayı toplanırsa, 2 2 2
(a + b) = a + 2ab + b ;
2n + 5 + 6n + 1 + 5n 1 + 3n 16 = 16n 11 (a b) = a 2ab + b 2
2
2
elde edilir. Bu sayı daima bir tek sayıdır. Dört asal
¸ seklindedir. Örne˘ gin,
sayının toplamı tek ise, sayılardan biri 2 olmalıdır. 2 2
(a + 2) = a + 4a + 4;
2n + 5; 6n + 2; 5n 1 sayılarının 2 olması mümkün 2
2
2
a 6ab + 9b = (a 3b) :
de˘ gildir. O halde, 3n 16 = 2 olmalıdır. Buradan,
n = 6 bulunur. Kontrol edilirse, sırasıyla 17; 37; 29 ve
2 asal sayıları elde edilir.

3n 4; 4n 5 ve 5n 3 sayılarının üçü A¸sa˘ gıdaki ifadeleri açınız.
de asal sayı olacak ¸sekilde kaç n pozitif tamsayısı 2
vardır? a) (2x 3) = ::::::::::::::::::::::::::::::::::::::
2
b) (3y 2x) = ::::::::::::::::::::::::::::::::::::
2 2
c) x y = ::::::::::::::::::::::::::::::::::::::
2
d) (x y=2) = ::::::::::::::::::::::::::::::::::::

Yanıt : 1, (n = 2 için) :

A¸sa˘ gıdaki ifadelerin hangi ifadelerin
n pozitif tamsayısının kaç de˘ geri için,
karesi oldu˘ gunu bulunuz.
5n 28; 7n 19 ve 10n 1 sayılarının üçü de
2
asaldır? (U ˙ IMO - 2009) a) x 6x + 9 = ::::::::::::::::::::::::::::::::::::::
2
b) 4x 20x + 25 = :::::::::::::::::::::::::::::::::
2
2
c) 4a 12ab + 9b = :::::::::::::::::::::::::::::::
2
c) x x + 1=4 = :::::::::::::::::::::::::::::::::::::

Yanıt : 1, (n = 6 için).
2
n + 2n + 2 ifadesi tamkare olacak ¸sekilde
kaç n tamsayısı vardır?

x + y + z = 68 ve x y + y z + z x =
2

2
2
1121 denklemlerinde, x; y; z asaldır. x < y < z n + 2n + 2 = n + 2n + 1 + 1 = (n + 1) + 1
oldu˘ guna göre y z çarpımı kaçtır? (UAMO- 1996;
¸ seklindedir. Verilen sayı bir tamkareden bir fazladır.
U ˙ IMO - 2002)
Bir tamkareden 1 fazla olan sayının tamkare olması
0 ve 1 sayıları için mümkündür.
x; y ve z üç tane asal sayısının toplamının
O halde,
çift olabilmesi bu asal sayılardan birinin çift olmasıyla
mümkündür. O halde; x = 2’dir. Buna göre; n + 1 = 0
y + z = 66 ve 2y + 2z + yz = 1121 olursa n + 2n + 2 bir tamkare olur. Yani, n = 1 için
2
olur. 2 (y + z) + yz = 1121 e¸sitli˘ ginden, sa˘ glanır.
2 66 + yz = 1121 ve buradan da yz = 989 olur.