Page 304 - 8_sf_Dahimatik

˙
˙
˙
DAHIMATIK - Matematik Yarı¸smalarına Ilk Adım 303
Yüzleri 1; 2; 3; 4; 7 ve 10 sayıları olan bir 7 yolcu 3 vagondan olu¸san bo¸s bir trene
zar üç kez atıldı˘ gında gelen sayıların toplamının üç rastgele birer vagon seçerek binerler. Birinci
ile bölünebilmesi olasılı˘ gı nedir? vagonda tam olarak iki yolcu bulunma olasılı˘ gı
kaçtır? (UMO - 1993)
Örnek uzayımız 6 6 6 = 216’dır. Yani,
7 yolcunun herbiri 3 vagon seçebilir. Bu
s (E) = 216
7
seçim 3 = 2187 türlüdür. Yani, örnek uzayımız 2187
olur. 1; 2; 3; 4; 7 ve 10 sayılarının 3’e bölümünden
elemanlıdır. Birinci vagonda tam iki yolcu olması için;
kalanlar sırasıyla; 1; 2; 0; 1; 1 ve 1’dir. Buna göre; üç di˘ ger vagonlarda 5 yolcu olmalıdır. 7 yolcudan 2 ki¸si;
kez atıldıktan sonra toplamın üç ile bölünebilmesi için;
7
birinci vagona 2 = 21 ¸sekilde seçilir. Di˘ ger 5 ki¸si de;
üç atılı¸sta da 3’e bölündü˘ günde aynı kalanı veren 5
2 vagonu da tercih edebileceklerinden; 2 de˘ gi¸sik ¸sekil-
sayı veya üç atılı¸sın her birinde farklı kalanı veren
de; di˘ ger vagonları seçebilir. Böylece; birinci vagonda
sayılar olması gerekir. Buna göre; zar üç kez atıldıktan
tam olarak iki yolcu bulunma olasılı˘ gı :
sonra gelen sayıların 3’e bölümünden kalanlar; 5
1 olacak ¸sekilde; 2 21 = 224
2187 729
4 4 4 = 64
olur.
durum vardır. Bunlar :
f(1; 1; 1) ; (1; 1; 4) ; (1; 1; 7) ; (1; 4; 1) ; :::; (10; 10; 10)g :
2 olacak ¸sekilde; 1 durum vardır; f(2; 2; 2)g ; Bir kitap rafında 15’i mavi; 2’si kırmızı
0 olacak ¸sekilde; 1 durum vardır, f(3; 3; 3)g : kaplı 17 kitap dizili durmaktadır. Bu raftan rastgele
ardı¸sık üç kitap alındı˘ gında bunların içinde en az
Üçünde de farklı kalanı verecek ¸sekilde
bir tane kırmızı kaplı kitabın bulunması olasılı˘ gının

4 1 1 3! = 24
1 1 1 1 oldu˘ gu bilinmektedir. A¸sa˘ gıdakilerden hangileri
sayı vardır. (Kendi aralarındaki sıralanı¸sları 3! 5
olabilir? (U ˙ IMO - 1998)
oldu˘ gundan; 3! ile çarptık.)
Buna göre; bir zar üç kez atıldı˘ gında gelen sayıların A) Kırmızı kaplı kitaplardan hiçbiri kitap sırasının
toplamının üç ile bölünebilmesi olasılı˘ gı : en ba¸sında de˘ gildir
˙
64 + 1 + 1 + 24 5 B) Iki kırmızı kaplı kitabın arasında tam olarak bir
=
6 6 6 12 mavi kaplı kitap vardır.
olur. ˙
C) Iki kırmızı kaplı kitap biti¸siktir.
D) Kırmızı kaplı kitaplardan biri kitap sırasının en
sonundadır.
Yüzleri 1; 2; 3; 5; 6 ve 9 sayıları olan bir
17 dizili kitaptan ardı¸sık 3 kitap 15
zar üç kez atıldı˘ gında gelen sayıların toplamının üç ile
¸ sekilde seçilebilir. ¸Simdi A,B,C ve D seçeneklerindeki
bölünebilmesi olasılı˘ gı nedir? (U ˙ IMO - 1997)
durumların olabilece˘ gini görelim.
A) ve B) seçenekleri olabilir. KMKMMMMMMMM-
MMMMMM ise
{KMK,MKM,KMM}
oldu˘ gundan, ardı¸sık üç kitabın içinde en az bir kırmızı
kitabın bulunması olasılı˘ gı 3=15 = 1=5 olur. Yani,
kırmızı kitap en ba¸sta olabilir, iki kırmızı kitap arasında
mavi kitap da olabilir.
C) seçene˘ gi olabilir. Çünkü, MKKMMMMMMMMM-
MMMMM ise,
{MKK,KKM,KMM}
oldu˘ gundan, olasılık yine 1/5’tir. Yani, iki kırmızı kitap
biti¸sik olabilir.
D) seçene˘ gi olabilir. MMMMMMMMMMMM-
MMKMK ise,
{MMK,MKM,KMK}
1
Yanıt : : oldu˘ gundan, olasılık yine 1=5’tir. Yani, kırmızı kitap
3
en sonda da olabilir.