Page 306 - 8_sf_Dahimatik

˙
˙
˙
DAHIMATIK - Matematik Yarı¸smalarına Ilk Adım 305
DANDANAKAN kelimesinin harfleri Bir sırada 10 koltuk bulunmaktadır. 7 ki¸si
sıralandı˘ gında en az iki A harfinin yanyana gelme bu koltuklarda rastgele oturduktan sonra yan yana
olasılı˘ gı nedir? iki bo¸s koltuk kalması olasılı˘ gı nedir?

A harflerinin yanyana gelmeme olasılı˘ gını 7 ki¸si; 10 koltu˘ ga
bulup, 1’den çıkarabiliriz. 2 D, 3 N, 4 A ve 1 K harfleri,
10
10! 7 = 120
4!3!2! farklı ¸sekilde oturabilir. Yani evrensel kümemiz 120
de˘ gi¸sik ¸sekilde sıralanır. A’ların yanyana gelmeme elemanlıdır. Yan yana iki bo¸s koltuk kalmaması
olasılı˘ gını bulalım. Bunun için; 2 D, 3 N ve 1 K’yı olasılı˘ gını bulmak daha kolaydır. 7 ki¸siyi sıralayalım.
önce yerle¸stirelim. Bu harfleri tabloda ile gösterelim.
     Â
¸ Simdi, geri kalan 3 bo¸slu˘ gu, yanyana iki bo¸sluk
4 A harfinin yan yana gelmemesi için; A harfleri 7 bo¸s olmayacak ¸sekilde da˘ gıtaca˘ gız. Bunun için tabloda
yerden dördüne yerle¸stirilebilir. Di˘ ger yanda, 2 D, 3 N da görüldü˘ gü gibi, ile gösterdi˘ gimiz 8 yerde bo¸sluk
ve 1 K ise kendi arasında olabilir. Bunlardan üçünü de
6! = 56
8
2!3! 3
farklı ¸sekilde seçebiliriz. Buna göre, yanyana iki koltuk
de˘ gi¸sik ¸sekilde sıralanabilir. Yani; A harfleri yan yana
bo¸s kalmaması olasılı˘ gı
gelemeyecek ¸sekilde
56 7
6! =
7
2!3! 4 120 15
bulunur. Biz, yanyana iki bo¸s koltuk olma olasılı˘ gını
sıralama yapılabilir. Böylece, A harflerinin yanyana
arıyoruz, buna göre,
gelmeme olasılı˘ gı :
7 8
7
6! 1 =
2!3! 4 1 15 15
= elde edilir.
10! 6
4!3!2!
olaca˘ gından, en az iki A harfinin yan yana gelme
olasılı˘ gı
Bir sınıfta 6’¸sar koltukluk 10 sıra
1 5
1 = bulunmaktadır ve koltuklar numaralanmı¸stır.
6 6
Alper ve Tu˘ gberk rasgele numaralar vererek
bulunur. koltuklara oturtuluyor. Alper ve Tu˘ gberk’in
arasında tam iki ki¸sinin olma olasılı˘ gı nedir?
Alper 6 10 = 60 yerden herhangi birine;
Tu˘ gberk de kalan 59 yerden birine oturabilir. O halde;
60 59 farklı ¸sekilde oturmu¸s olabilirler. 6 yan yana
koltu˘ ga arada iki ki¸si olacak ¸sekilde dört ki¸si

A23T ; A34T ; A45T
¸ seklinde; 3 farklı durumda oturabilirler. Alper ve
3 kırmızı; 3 mavi; 3 ye¸sil top rastgele Tu˘ gberk’in yer de˘ gi¸stirmesi de farklı bir oturu¸s
oldu˘ gundan, her sıraya 3 2 = 6 de˘ gi¸sik ¸sekilde
sıralandı˘ gında; en az iki kırmızı topun yan yana gelme
oturabilirler. (Burada, önemli olan Alper ve Tu˘ gberk
olasılı˘ gı nedir? (UMO - 1996)
arasında iki ki¸sini olmasıdır. Bu iki ki¸sinin kim
oldu˘ gu önemli olmadı˘ gından onların sıralanı¸sıyla
ilgilenmiyoruz.)
10 sıra oldu˘ gundan; Alper ve Tu˘ gberk’in arasında tam
iki ki¸sinin olma durumlarının sayısı 10 6 = 60 olur.
Böylece; olasılık,
7 60 1
Yanıt : : =
12 60 59 59
olarak bulunur.