Page 308 - 8_sf_Dahimatik
P. 308

˙
                                            ˙
                                       ˙
                                   DAHIMATIK - Matematik Yarı¸smalarına Ilk Adım                  307
                 MARMARA kelimesinin harfleri rastgele              ABRAKADABRA kelimesinin harfleri;
          sıralandı˘ gında, sessiz harflerin alfabetik sırada
                                                         rastgele sıralandı˘ gında ilk A harfinin ilk B harfinden
          olma olasılı˘ gı nedir?                        önce gelme olasılı˘ gı nedir? (UMO - 2003)
                    Tüm sıralamaların sayısı
                            7!
                                = 210
                          3!2!2!
          ’dur. Sessiz harfleri alfabetik sırada dizelim. Bu
          durumda, MMRR olur. Geriye 3 tane A harfi kaldı.
                                                                    9

                                                                      6
          Birinci A harfini,                                    11 10   2  4  5
                                                         Yanıt :         =
                     M      M     R      R                        11!      7
                                                                 5!2!2!
          tablosundaki 5 yere yazabiliriz. Örne˘ gin,
                  M      M     R     A      R
                                                                   Rastgele seçilen altı basamaklı bir do˘ gal
               ˙
          olsun. Ikinci A harfini 6 yere ve üçüncü A harfini
                                                         sayının tam olarak iki basama˘ gında 1 bulunması
          de 7 yere yazabiliriz. Fakat, A harflerinin kendi
                                                         olasılı˘ gı nedir? (UMO - 1994)
          arasındaki de˘ gi¸simi farklı sıralama vermeyece˘ ginden,
          3! ile bölmeliyiz. O halde, sessiz harflerin alfabetik
          sırada oldu˘ gu 5 6 7=3! = 35 durum vardır. Böylece,
          olasılı˘ gımız :
                             35   1
                                =
                            210   6
                                                                 4
          bulunur.                                            5 9 + 10 8 9 3  81
                                                         Yanıt :          =    :
                                                                  9 10 5    800
                 Üç tane 1, iki tane 3 ve birer tane 4,5,7,9
          rakamlarını kullanarak olu¸sturulan 9 rakamlı
          sayılarda, soldan son 1 rakamın, son 3 rakamından
          sonra gelme olasılı˘ gı nedir?

                    Tüm sıralamaların sayısı 9!= (3!2!)’dir.


          Son 1 rakamının; son 3 rakamından sonra gelen         Bir torbada 2 beyaz, 3 mavi, 4 sarı top
          sıralamaları hesaplamak için; önce 4; 5; 7; 9  vardır. Torbadan geriye konulmaksızın birer birer
          rakamlarını yerle¸stirelim. 4 rakamını 9 yere, 5  7 top çekiliyor. Bu 7 topun ikisinin sarı, üçünün
          rakamını 8 yere, 7 rakamını 7 yere ve 9 rakamını 6 yere  mavi, ikisinin beyaz olma olasılı˘ gı kaçtır?
          yazabiliriz. Örne˘ gin,
                      4   5       7       9                       2 beyaz, 3 mavi, 4 sarı topun bulundu˘ gu
          olsun. ¸Simdi, 3 tane 1 ve 2 tane 3 rakamlarını  torbadan, 9 topu
          yerle¸stirelim. Soldan son 1 rakamın, son 3 rakamından          9!
                                                                              = 1260
          sonra gelmesi için, sa˘ gdan itibaren ilk bo¸s yere 1          2!3!4!
          yazabiliriz.                                  farklı ¸sekilde seçebiliriz. Di˘ ger taraftan, çekilen ilk 7
                      4  5       7     1   9            topun üçünün sarı, ikisinin mavi, ikisinin beyaz oldu˘ gu
                                                                           7!
          Bu durumda, elimizde 2 tane 1 ve 2 tane 3 kalır. Buna                = 210
          göre, geriye kalan 4 bo¸s yerden ikisine 1 rakamını            3!2!2!
           4                                            durum vardır. Her defasında torbada geriye 2 sarı top

           2  = 6 farklı ¸sekilde yerle¸stirebiliriz. Son iki bo¸slu˘ ga
          da, son iki tane 3 rakamını tek türlü yerle¸stirebiliriz.  kalır. Buna göre, istenen olasılık
          Böylece, soldan son 1 rakamın, son 3 rakamından sonra            210   1
                                                                               =
                       4            ˙
          geldi˘ gi, 9 8 7 6   sayı bulunur. Istenen olasılık,            1260   6
                       2

                                4                       bulunur.
                         9 8 7 6     3
                                2  =                            2 1 3 2 1 4 3    1
                          9!= (3!2!)  5                 2. Yol :  9 8 7 6 5 4 3   210 =  6 : (Ayrıntı için, bir
          bulunur.                                      sonraki örne˘ gi inceleyiniz.)
   303   304   305   306   307   308   309   310   311   312   313