Page 311 - 8_sf_Dahimatik

˙
˙
˙
310 DAHIMATIK - Matematik Yarı¸smalarına Ilk Adım M.Özdemir
1’den 10’a kadar sayılar ka˘ gıtlara yazılıp, ˙ Içinde 4 kırmızı; 3 beyaz top bulunan bir
ka˘ gıtlar bir torbaya atılıyor. Torbadan rastgele torbadan iki top rastgele çıkarıldıktan sonra; yine
bir ka˘ gıt seçiliyor, bu ka˘ gıdın üzerindeki sayı not rastgele üçüncü bir top çekiliyor. Bu topun kırmızı
edildikten sonra, tekrar torbaya geri konuluyor. Bu olma olasılı˘ gı nedir? (U ˙ IMO - 1997)
¸ sekilde torbadan toplam 10 kez ka˘ gıt çekildi˘ ginde,
çekilen ka˘ gıtların üzerindeki sayıların tamamının
birbirinden farklı olma olasılı˘ gı kaçtır? Çıkarılan ilk iki top
KB; KK veya BB
˙ Ilk çekili¸ste çekti˘ gimiz ka˘ gıdın üzerindeki
olabilir. Buna göre inceleyelim.
˙
sayıyı not edelim. Ikinci çekili¸ste üzerinde bu sayıdan
farklı bir sayı olan ka˘ gıdı çekme olasılı˘ gımız
˙
i) Ilk iki topun KB olma olasılı˘ gı :
9
4 3
10 1 1 4
˙
dur. Ikinci ka˘ gıdın üzerindeki sayıyı da not edip, geri = 7
7
2
koyduktan sonra, üçüncü ka˘ gıdı çekelim. Önceki iki
3
sayıdan farklı olma olasılı˘ gı üçüncü topun kırmızı olma olasılı˘ gı : oldu˘ gundan,
5
8 ilk iki top KB ise üçüncü topun kırmızı olma olasılı˘ gı
10 4 3 12

dur. Bu ¸sekilde devam ederek, 10 çekili¸s sonunda, 7 5 = 35
ka˘ gıtların üzerindeki tüm sayıların birbirinden farklı bulunur.
olma olasılı˘ gı :
˙
9 8 7 6 5 4 3 2 1 9! ii) Ilk iki topun KK olma olasılı˘ gı
=
10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 9 2
4
2
bulunur. = 7 ;
7
2
2
üçüncü topun kırmızı olma olasılı˘ gı oldu˘ gundan, ilk
5
iki top KK ise üçüncü topun kırmızı olma olasılı˘ gı
2 2 4
=
7 5 35
bulunur.
˙
iii) Ilk iki topun BB olma olasılı˘ gı :
3 1

2
=
7 7
2
Bir torbada her birinin üzerinde 1’den ve üçüncü topun kırmızı olma olasılı˘ gı oldu˘ gundan, ilk
iki top BB ise üçüncü topun kırmızı olma olasılı˘ gı
20’ye kadar olan tamsayılardan biri yazılı 20 top
bulunmaktadır. Üstünde aynı sayı yazılı olan herhangi 1 4 4
=
iki top yoktur. Bu torbadan bir top çekilir ve üstündeki 7 5 35
sayı kaydedildikten sonra top torbaya geri konur. Bu bulunur.
i¸slem 10 defa tekrar ederse; çıkan 10 sayının hepsinin
birbirinden farklı olma olasılı˘ gı nedir? (UMO - 1994) Böylece, istenen olasılık;
12 4 4 4
+ + =
35 35 35 7
bulunur.

19 18 17 11 10!
20
Yanıt : = 10 :
20 20 20 20 20 10