Page 34 - 8_sf_Dahimatik

˙
˙
˙
DAHIMATIK - Matematik Yarı¸smalarına Ilk Adım 33
x 1 xy 2x 2
= ifadesinde x’i y n + n + 109 sayısı tamkare olacak
3 2y
cinsinden bulunuz. ¸ sekilde kaç n pozitif tamsayısı vardır?
2
˙ Içler dı¸slar çarpımı yaparsak, n + n + 109 ifadesi tamkare ise, bir k
tamsayısı için,
2xy 2y = 3xy 6x 2 2 2 2
n + n + 109 = (n + k) = n + 2kn + k
olur. x çarpanı olanları sol tarafa geçirelim. 2
olmalıdır. Buradan, 2kn n = 109 k e¸sitli˘ ginden,
2xy 3xy + 6x = 2y veya 6x xy = 2y 2
109 k
2y n =
olur. Buradan, x (6 y) = 2y ve x = elde 2k 1
6 y
edilir. elde edilir. n pozitif olması gerekti˘ ginden, k en fazla
10 olabilir. O halde, k için 1’den 10’a kadar de˘ gerler
verilirse,
k = 1; k = 2, k = 3 ve k = 8
2xy 1 y 4 için n tamsayı bulunur. Sırasıyla, n 2 f108; 35; 20; 3g
= ifadesinde y’yi x
x 3 oldu˘ gu görülebilir.
cinsinden bulunuz.

2
n + n + 59 sayısı tamkare olacak
¸ sekildeki tüm n pozitif tamsayılarını bulunuz.
3 4x
Yanıt : y = :
5x

2x 1
y = ifadesinde x’i y cinsinden
3x 5
bulunuz.

Yanıt : 58 ve 10.
5y 1
Yanıt : x = :
3y 2

2
3
n + n sayısı tamkare olacak ¸sekilde
100’den küçük kaç n pozitif tamsayısı vardır?
x (2y + 1) = 24 e¸sitli˘ gini sa˘ glayan kaç
2
3
2
n + n = n (n + 1) sayısının tamkare (x; y) do˘ gal sayı ikilisi vardır?
olabilmesi için, n + 1 sayısı bir tamkare olmalıdır.
Buna göre, n sayısı bir tamkarenin 1 eksi˘ gi olmalı ki, Verilen e¸sitlikte 2y + 1 sayısının daima tek
1 ilave edildi˘ ginde bir tamkare olsun. Buna göre, n sayı oldu˘ gunu kullanaca˘ gız. 24 = 2 3 oldu˘ gundan,
3
sayısı, 2y + 1 sayısı 1 veya 3 olabilir. Bu durumda da x = 24
3; 8; 15; 24; 35; 48; 63; 80; 99 veya x = 8 olacaktır. O halde,
3
2
de˘ gerlerini alırsa, n + n ifadesi bir tamkare olur. 2y + 1 = 1
Bunların sayısı da 9’dur.
ise, y = 0 olaca˘ gından, (24; 0) verilen e¸sitli˘ gi sa˘ glar.
2y + 1 = 3
ise, y = 1 olaca˘ gından, (8; 1) verilen e¸sitli˘ gi sa˘ glar.