Page 35 - 8_sf_Dahimatik

˙
˙
˙
34 DAHIMATIK - Matematik Yarı¸smalarına Ilk Adım M.Özdemir
n ve m negatif olmayan tamsayılar olmak p bir do˘ gal sayı olmak üzere,
üzere, 3
(n + 1) = 120 p
n (2m + n + 1) = 72
e¸sitli˘ gini sa˘ glayan en küçük n do˘ gal sayısı kaçtır?
ise, n kaç farklı sayı olabilir?
3
120 = 2 3 5 oldu˘ gundan,
n ve (2m + n + 1) sayılarının çarpımı 3 3
(n + 1) = 2 3 5 p
72 olmalı. Fakat, ikinci çarpanın daha büyük olması
gerekti˘ gi açık. Yani, n < 2m + n + 1 ’dir. Di˘ ger yazılabilir. Bu e¸sitli˘ gin sol tarafı bir tamsayının küpü
yandan, oldu˘ gundan, sol tarafı da bir tamsayının küpü olması
n tek sayıysa, 2m + n + 1 çift, n çift sayıysa, gerekir. n’nin en küçük de˘ geri için, p’de en küçük
2
2
2m + n + 1 tek olacaktır. seçilmelidir. E˘ ger, p = 3 5 seçilirse sa˘ g taraf
3 3 3 3
Buna göre, 72 = 2 2 2 3 3 oldu˘ gundan, (n + 1) = 2 3 5 ise n + 1 = 2 3 5
n = 1 ise e¸sitli˘ ginden, n = 29 bulunur.
2m + n + 1 = 72
olabilir. (Biri tek, biri çift ve n < 2m + n + 1)
n = 2 ve n = 4 olamaz. Çünkü bu durumda 2m+n+1
sayısı da çift olur.
f1; 2; 3; 4; :::; 20; 21; 22g kümesinden
n = 8 ise,
en az kaç eleman atılmalı ki; geriye kalan sayıların
2m + n + 1 = 9 çarpımı bir tamkare olsun? (UAMO- 2003)
olabilir. (Biri tek, biri çift ve n < 2m + n + 1)
n = 3 ise

2m + n + 1 = 24
olabilir. (Biri tek, biri çift ve n < 2m + n + 1)
n = 9 ise
Yanıt : 5.
2m + n + 1 = 8

durumu da mümkün de˘ gildir. Çünkü, 2m + n + 1 > n
olmalıydı.
Sonuç olarak, n = 1; n = 8 ve n = 3 olabilir. Bu
durumlar için m de˘ gerlerini de bulabiliriz.
n (2m + n + 1) = 72
e¸sitli˘ ginde,
n = 1 ise, 2m+2 = 72 e¸sitli˘ ginden, m = 35 olur. Bir kareyi e¸sit olması gerekmeyen çift
n = 3 ise, 2m+4 = 24 e¸sitli˘ ginden, m = 10 olur. sayıda kareye ayırmak istiyoruz. Hangi çift sayılar
n = 8 ise, 2m + 9 = 9 e¸sitli˘ ginden, m = 0 olur. için bu mümkün de˘ gildir?

Bir kareyi 2 e¸sit kareye ayırmak mümkün
de˘ gildir. Fakat di˘ ger tüm çift sayılar için, ¸sekildeki gibi
ayırma i¸slemi yapabiliriz.
n (2m + 1) = 12 e¸sitli˘ gini sa˘ glayan kaç
(m; n) tamsayı ikilisi vardır?

4 kare 6 kare
n-1 tane
. . .
.
n-1
.
tane
.
Yanıt : 4.
8 kare 2n kare