Page 315 - 8_sf_Dahimatik

˙
˙
˙
314 DAHIMATIK - Matematik Yarı¸smalarına Ilk Adım M.Özdemir
X = f1; 2; 3; 4; 5g kümesinden ayrık iki A
F Ayrık Iki Kümeye Da˘ gılım F
˙
ve B kümeleri kaç farklı ¸sekilde seçilebilir?
n elemanlı bir küme, 5
2 n n 1 3 = 243:
= 2
2
farklı ¸sekilde ayrık iki kümenin birle¸simi olarak
yazılabilir.
Kanıt : Her eleman iki kümenin de elemanı olabilir. f1; 2; 3; :::; 10g kümesinin tüm
altkümeler kümesinde A 1 \ A 2 bo¸s küme olacak
¸ sekilde; kaç tane (A 1 ; A 2 ) sıralı altküme ikilisi vardır?
(U ˙ IMO - 1997)

Buna göre, her bir eleman 2 farklı yere yazıla-
bilece˘ ginden, n elemanla 2 n tane ayrık iki küme
elde edilir. Fakat, kümelerin adı belirlenmi¸s ol-
madı˘ gından, tüm ayrılı¸slar iki kez sayılmı¸s oldu.
Örne˘ gin, f1; 2g ; f3; 4; 5; 6g ile f3; 4; 5; 6g ; f1; 2g
ayrılı¸sları aynıdır. O halde, n elemanlı bir küme 10
ayrık iki kümeye, Yanıt : 3 :
2 n n 1
= 2
2
farklı ¸sekilde ayrılır.
(Not : A kümesinin altküme sayısının yarısı kadardır.
0
Çünkü herbir X kümesi ile tümleyeni olan X kümesi,
˙
birle¸simleri A olan ayrık iki küme verir. (X; X ) ve F Bo¸s Kümeden Farklı Ayrık Iki Kümeye Ayırma
0

(X ; X) aynı oldu˘ gundan altküme sayısı 2’ye bölünür.)
0
F n elemanlı bir küme,
2 n 1 1
farklı ¸sekilde bo¸s kümeden farklı ayrık iki kümenin
birle¸simi olarak yazılabilir.
A = f1; 2; 3; 4; 5; 6g kümesi kaç farklı Kanıt : Her eleman iki kümenin herhangi birinin ele-
¸ sekilde ayrık iki kümenin birle¸simi olarak manı olabilir.
yazılabilir?
2 6
= 32:
2
O halde, 2 n ¸ sekilde ayrık iki altkümeye ayrılabilir.
Fakat, Herhangi birinin bo¸s oldu˘ gu iki durum vardır.

F Ayrık A ve B Kümeleri Seçme F Bunları çıkarırsak. 2 2 olur. Tüm ayrılı¸slar iki kez
n

sayıldı˘ gından, yanıt
n elemanlı bir X kümesinden ayrık iki A ve B n 1
kümesi, 3 n farklı ¸sekilde seçilir. 2 1
Kanıt : n elemanın herbiri, bu kez üç yere yazılabilir. bulunur.
Çünkü, A ve B’nin birle¸simleri X olmak zorunda ol-
madı˘ gından, her iki kümeye ait olmayan elemanlar da
bulunabilir.

A B
X = f1; 2; 3; 4; 5g kümesi kaç farklı
C ¸ sekilde, bo¸s olmayan iki kümenin birle¸simi olarak

yazılabilir?
Buna göre, her bir eleman 3 yere yazılabiliyorsa, 3 n
farklı ¸sekilde seçilebilir. Üsteki ¸sekilde dü¸sünülerek,

2 5 1 1 = 15
bulunur: