Page 314 - 8_sf_Dahimatik

˙
˙
˙
DAHIMATIK - Matematik Yarı¸smalarına Ilk Adım 313
1,2,3,4,5,6,7,8,9 sayılarının rastgele üçü Da˘ gılım
seçiliyor. Sayılardan en az birinin, çift oldu˘ gu
biliniyorsa, toplamlarının 20’den büyük olma Farklı Nesnelerin Da˘ gıtılması
olasılı˘ gı kaçtır? Farklı n tane nesneyi m ki¸siye da˘ gıtmak istersek;
n
her nesneyi m ki¸siye verebilece˘ gimizden m de˘ gi¸sik
Örnek uzay; ¸ sekilde da˘ gıtım yapabiliriz. Bu tür da˘ gıtılı¸slarda

9 = 84 da˘ gıtılan nesnelerin kendi aralarındaki dizili¸slerinin
3
farklı da˘ gıtım olup olmadı˘ gı gözden kaçırılmamalıdır.
elemanlıdır. B olayı sayılardan birinin çift gelme olayı
ise; 4 çift sayı oldu˘ gundan,

4 5 + 4 5 + 4 = 74
1 2 2 1 3 F Ayrık Kümelere Da˘ gılım F
e¸sitli˘ ginden, s (B) = 74 olur. A olayı gelen sayıların
toplamının 20’den büyük olma olayı ise, Ayrık iki kümeye ayrılı¸s ile, ayrık A ve B kümelerine
A = f(7; 8; 9) ; (7; 8; 6) ; (6; 8; 9) ; (5; 8; 9) ; ayrılı¸s sayısı farklıdır. Birinde kümeler belirli oldu˘ gun-
dan, ayrılı¸sların tamamı farklı iken, di˘ gerinde kümeler
(4; 8; 9) ; (6; 7; 9) ; (5; 7; 9)g
belirli olmadı˘ gından, her bir ayrılı¸s iki kez sayılmı¸s olur.
olur. Sayılardan en az birinin çift ve toplamlarının
20’den büyük olma durumları : Örne˘ gin, f1; 2; 3g kümesinde,
A \ B = f(7; 8; 9) ; (7; 8; 6) ; (6; 8; 9) ; (5; 8; 9) f1g ; f2; 3g ile f2; 3g ; f1g
; (4; 8; 9) ; (6; 7; 9)g ayrılı¸sları aynıdır. Kümenin ismi belirli olsaydı,
oldu˘ gundan; s (A \ B) = 6 olur. Böylece; A = f1g ; B = f2; 3g ve A = f2; 3g, B = f1g
P (A \ B) s (A \ B) =s (E) farklı ayrılı¸slar olacaktır. Ayrıca, kümelerin bo¸s olup ol-
P (A=B) = =
P (B) s (B) =s (E) maması da soruda dikkat edilmesi gereken unsurlardan
s (A \ B) 6 biridir. Bo¸s kümeden farklı ayrık kümeler için, sonuçtan
= = 1, bo¸s kümeden farklı A ve B kümeleri için ise, sonuç-
s (B) 74
tan 2 çıkarılır.
bulunur.

1 x 11 olacak ¸sekilde iki tane x F Ayrık A ve B Kümelerine Da˘ gılım F
tamsayısı seçiliyor. Sayılardan en az birinin asal
oldu˘ gu biliniyorsa, toplamlarının 11 olma olasılı˘ gı n elemanlı bir küme, 2 n farklı ¸ sekilde
kaçtır? ayrık A ve B kümelerinin birle¸simi olarak yazıla-
bilir.
Kanıt : Her bir elemanı A veya B kümesine yazabiliriz.

A B

Buna göre, n elemanın herbiri 2 yere yazılabilece˘ gin-
n
den, 2 farklı ¸sekilde ayrık A ve B kümelerine ayrıla-
bilir.
5

5
6
Yanıt : 2,3,5,7,11, + = 40 ise s (B) = 40;
1 1 2
1
s (A \ B) = 4 ve P (A=B) = :
10
Permütasyon, kombinasyon, olasılık konusuyla ilgili
daha zor ve farklı soruları "Matematik Olimpiyatlarına X = f1; 2; 3; 4; 5; 6g kümesi, birle¸simleri
Hazırlık 2" kitabında bulabilirsiniz. X olan, ayrık A ve B kümelerine kaç farklı ¸sekilde
ayrılabilir?
6
2 = 64: