Page 316 - 8_sf_Dahimatik

˙
˙
˙
DAHIMATIK - Matematik Yarı¸smalarına Ilk Adım 315

f1; 2; 3; :::; 100g kümesi kaç farklı F Ayrık Herhangi Iki Küme SeçmeF
˙

¸ sekilde, her birinde en az bir eleman bulunan iki
altkümenin birle¸simi olarak yazılabilir? n elemanlı bir kümeden ayrık iki küme,
n
3 1
+ 1
2
farklı ¸sekilde seçilir.
Kanıt :

1 2
3

Yanıt : 2 99 1: ¸ semasına göre, n elemanın her biri 1; 2 veya 3 bölgesine
n
yazılabilece˘ ginden, n eleman bu üç bölgeye 3 ¸sekilde
da˘ gıtılabilir. Fakat, 1 ve 2 bölgelerinin her ikisinin
13 ki¸silik bir topluluk; her birinde en az de bo¸s oldu˘ gu durum haricinde, tüm seçimler iki kez
bir ki¸si bulunan iki alt toplulu˘ ga kaç farklı ¸sekilde sayılmı¸s olaca˘ gından,
ayrılabilir? (UMO - 1994) 3 1
n
+ 1
2
farklı seçim yapılabilir.

Yanıt : 2 12 1 = 4095:
f1; 2; 3g kümesinden kaç farklı ¸sekilde
ayrık iki küme seçilebilir?

Yazarak çözelim.
(;; ;) ; (f1g ; ;) ; (f2g ; ;) ; (f3g ; ;) ; (f1; 3g ; ;) ;
(f1; 2g ; ;) ; (;; f2; 3g) ; (f1; 2; 3g ; ;) ;
(f1g ; f2g) ; (f1g ; f3g) ; (f3g ; f2g) ;
(f1; 3g ; f2g) ; (f1; 2g ; f3g) ; (f1g ; f2; 3g)
biçiminde 14 tane ayrık iki küme seçimi yapılabilir.
3
3 1
( + 1 = 14)
F Bo¸stan Farklı Ayrık A, B Kümelerine Ayırma 2

n elemanlı bir küme,
n
2 2
farklı ¸sekilde, bo¸s kümeden farklı ayrık A ve B
kümelerinin birle¸simi olarak yazılabilir.
f1; 2; 3; :::; 10g kümesinden kaç tane
Kanıt : Bir önceki gibi. Bu kez, küme isimleri belirli
ayrık iki küme seçilebilir?
oldu˘ gundan, 2’ye bölünmez.

X = f1; 2; 3; 4; 5g kümesi kaç farklı
¸ sekilde, bo¸s olmayan A ve B kümelerinin birle¸simi
olarak yazılabilir?
3 10 1
Yanıt : + 1.
5
2 2 = 30: 2