Page 317 - 8_sf_Dahimatik

˙
˙
˙
316 DAHIMATIK - Matematik Yarı¸smalarına Ilk Adım M.Özdemir

F Ayrık Olması Gerekmeyen Iki Kümeye AyırmaF Ayrık Olm. Gerekmeyen A, B Kümelerine Ayırma
˙

n elemanlı bir küme, n elemanlı bir küme, ayrık olması gerekmeyen A ve
n
3 1 B kümelerine
+ 1
2 3 n
farklı ¸sekilde ayrık olması gerekmeyen iki kümenin
farklı ¸sekilde ayrılır.
birle¸simi olarak yazılabilir.
Kanıt : n elemanın herbiri, 3 yere yazılabilece˘ ginden
n
3 tane küme ikilisi elde edilir.
1 2 3

Fakat, 1 ve 3 bölgesinin ikisinin de bo¸s olması (yani tüm
elemanların 2 bölgesinde olması) durumu haricindeki
tüm yazılı¸slar iki kez hesaplanmı¸s oldu˘ gundan; farklı
ayrık olmayan iki küme sayısı X = f1; 2; 3; 4; 5; 6g olmak üzere,
n
3 1 A [ B = X
+ 1
2 olacak ¸sekilde kaç (A; B) altküme ikilisi vardır?
olur.
Her bir eleman 3 yere yazılabilir. Buna
göre,
6
3 = 729
altküme iklisi vardır.

S = f1; 2; 3g kümesini ayrık olmayan kaç
tane iki kümenin birle¸simi olarak yazabilece˘ gimizi
kümeleri yazarak gösteriniz.

X = f1; 2; :::; 10g kümesi birle¸simleri X
olan ve üçünün kesi¸simi bo¸s küme olan üç A; B ve
X = f1; 2; 3g ise; Y = f;; f1g ; :::; f1; 2; 3gg olabilir.
C kümelerine kaç farklı ¸sekilde ayrılabilir?
8 tanedir.
X = f1; 2g ise; Y = ff3g ; f1; 3g ; f2; 3gg olabilir 3
tanedir.
X = f1; 3g ise; Y = ff2g ; f2; 3gg ve
X = f2; 3g ise; Y = f1g olaca˘ gından;
toplam 8 + 3 + 2 + 1 = 14 tanedir. Kısaca;
3
3 1
+ 1 = 14
2
ile bulunabilirdi.

¸ Sekilden izlenirse; üçünün kesi¸simlerinin bo¸s küme
olmasını istedi˘ gimiz için g bölgesi bo¸s olmalıdır. O
5 elemanlı bir küme, kaç farklı ¸sekilde halde;
ayrık olmaları gerekmeyen iki kümenin birle¸simi
olarak yazılabilir? f1; 2; :::; 10g
sayıları geri kalan 6 bölgeye; a; b; c; d; e ve f
Üsteki ¸sekilde dü¸sünülerek,
bölgelerine kaç farklı ¸sekilde da˘ gıtılabilece˘ gini
5
3 1 bulmamız gerekir. Her bir elemanı 6 bölgeye
+ 1 = 122
2 de yazabiliriz. Her yazılı¸sta farklı üç küme elde
bulunur. edilecektir. Yani; 6 10 farklı ¸sekilde da˘ gıtılabilir.