Page 318 - 8_sf_Dahimatik

˙
˙
˙
DAHIMATIK - Matematik Yarı¸smalarına Ilk Adım 317

F Ayrık Olması Gerekmeyen Iki Küme Seçme F f1; 2; 3; :::; 10g kümesi kaç farklı ¸sekilde,
˙
en az bir elemanlı ve ardı¸sık iki sayı içermeyen
n elemanlı bir kümeden, ayrık olması gerekmeyen ayrık üç kümenin birle¸simi olarak yazılabilir?
iki küme,
Üç kümeye A; B ve C diyelim.
n
2
1 2 A ve 2 2 B ise; 3 2 A veya 3 2 C
2
olabilir. Yani; 3 için 2 seçenek vardır. Benzer ¸sekilde
farklı ¸sekilde seçilir. 4 için de 2 seçenek vardır. 3; A veya C’nin birinin
Kanıt : n elemanlı bir kümenin 2 n tane altkümesi
elemanı iken; 4; ya B’nin ya da 3’ün olmadı˘ gı A
vardır ve bu altkümelerin herhangi ikisi seçilebilir.
veya C kümelerinden birinin elemanı olabilir. Benzer
dü¸sünceyle, her bir eleman için 2 küme seçilebilece˘ gi
˙
görülür. Ilk iki elemanı belirlemi¸stik, o halde, geriye
kalan 8 eleman için 2’¸ser seçenek oldu˘ gundan,
8
2 = 256
S = f1; 2; :::; 10g kümesinden ayrık olması
farklı altküme üçülüsü elde edilir. Fakat, kümelerin
gerekmeyen kaç tane iki küme seçilebilir?
bo¸stan farklı olması gerekti˘ ginden, bu da˘ gıtımda
S kümesinin 2 10 = 1024 altkümesi vardır. f1; 3; 5; 7; 9g; f2; 4; 6; 8; 10g ; ;
Bu altkümelerden herhangi ikisi ko¸sulumuzu sa˘ glar. ¸ seklindeki da˘ gılım da sayıldı˘ gından, f1; 2; 3; :::; 10g
Buna göre, yanıt kümesi

1024 256 1 = 255
2
farklı ¸sekilde, en az bir elemanlı ve ardı¸sık iki
bulunur. sayı içermeyen ayrık üç kümenin birle¸simi olarak
yazılabilir.

F Ayrık Olması Gerekmeyen A ve B Seçme F

n elemanlı bir kümeden, ayrık olması gerekmeyen A
ve B kümeleri,
4 n f1; 2; :::; 2006g kümesi; bo¸s olmayan ve
hiçbiri ardı¸sık herhangi iki sayı içermeyen üç kümeye
farklı ¸sekilde seçilir.
Kanıt : n elemanlı bir kümenin 2 n tane altkümesi kaç de˘ gi¸sik biçimde ayrılabilir? (UMO - 2006)
vardır, A kümesi bu kümelerden herhangi biri olabilir. B
kümesi de bunlardan herhangi biri olabilir. Buna göre,
n n
2 2 = 4 n
farklı A ve B küme ikilisi seçilebilir.

S = f1; 2; 3; 4g kümesinden ayrık olması
gerekmeyen kaç tane A ve B küme ikilisi seçilebilir?

S kümesinin Yanıt : 2 2004 1:
4
2 = 16
altkümesi vardır. A ve B, 16 kümenin herhangi biri
olabilir. Buna göre,
16 16 = 256
tane A ve B küme ikilisi seçilebilir.