Page 319 - 8_sf_Dahimatik

˙
˙
˙
318 DAHIMATIK - Matematik Yarı¸smalarına Ilk Adım M.Özdemir

Özde¸s Nesnelerin Da˘ gıtılması
F n Özde¸s Nesnenin r Ki¸siye Da˘ gıtım Sayısı F

4 tane birbirinin aynısı (özde¸s) topu, üç n özde¸s nesneyi, r ki¸siye
ki¸siye kaç farklı ¸sekilde da˘ gıtabiliriz? n+r 1
r 1
farklı ¸sekilde da˘ gıtabiliriz.
Kanıt : n tane özde¸s nesneyi (toplarla gösterdik) yan
yana yerle¸stirelim.
…
Aslında bu soru bir tekrarlı permütasyon sorusudur. …
Çünkü, 4 topu, üç ki¸siye payla¸stırmak için iki tane
ayırıcı çubu˘ ga ihtiyacımız var. ¸Sekilde bu ayraçları n tane top r-1 tane kalem
kalem ile gösterdik. Bu ayraç kalemleri, topların
herhangi bir yanına koydu˘ gumuzda, her defasında Bu n tane nesnesini (topu) r ki¸siye da˘ gıtmak için;
farklı bir payla¸stırma yapmı¸s olaca˘ gız. Yani, 4 top ile 2 r 1 tane ayırıcı kalemi nesnelerin sa˘ gına ya da soluna
kalemi kaç farklı ¸sekilde sıralayabilece˘ gimiz bulaca˘ gız. koyabiliriz. Yani; problem;

"n tane nesne " " ile r 1 tane çubuk " " kaç
de˘ gi¸sik ¸sekilde sıralanır?"
3 tane 1 tane tekrarlı permütasyon sorusuna e¸sde˘ ger olur. Bu ise;
(n + r 1)!
Örne˘ gin, üstteki payla¸sımda, birinci ki¸siye 1, ikinci
(r 1)!n!
ki¸siye 3 ve üçüncü ki¸siye 0 top verilmi¸stir. Soruda, bir
ile bulunabilir. Bu formülü;
ki¸sinin mutlaka bir top alaca˘ gı belirtilmedi˘ gi için, 0
n+r 1
kalem alma durumu da olabilir. O halde, sorumuzu,
r 1
"4 aynı top ile 2 aynı kalem kaç de˘ gi¸sik ¸sekilde ¸ seklinde yazabiliriz.
sıralanır?" Sonuç olarak, n tane özde¸s nesneyi r ki¸siye
¸ seklinde ifade edebiliriz. Bu ise, n+r 1
r 1
6!
= 15 de˘ gi¸sik ¸sekilde da˘ gıtmak mümkündür.
4!2!
olarak bulunur.

7 özde¸s bilyeyi 5 ö˘ grenciye kaç farklı
¸ sekilde payla¸stırabiliriz?

5 ö˘ grenciye payla¸stırmak için, 4 çubuk
gerekir. 7 bilye ve 4 çubuk
11!
= 330
7!4!
farklı ¸sekilde sırlanabilir. O halde, 330 farklı ¸sekilde
payla¸stırılabilir. Bunu kısaca, n = 7; r = 5 için,

n+r 1 = 7+5 1 = 330
r 1 5 1
formülü ile bulabilirdik.