Page 324 - 8_sf_Dahimatik

˙
˙
˙
DAHIMATIK - Matematik Yarı¸smalarına Ilk Adım 323
x 3; y 4; z 5 olmak üzere;
Do˘ grusal Denklemin Poz. Tamsayı Çözüm Sayısı

x + y + z = 16 denklemini sa˘ glayan kaç (x + y + z)
pozitif tamsayı dörtlüsü vardır?
x 1 + x 2 + + x k = n
Bu soru da; "16 özde¸s bilye; birinci ki¸si
denklemini sa˘ glayan (x 1 ; x 2 ; :::; x k ) pozitif tamsayı en az 3; ikinci ki¸si en az 4; üçüncü ki¸si en az 5 bilye
k’lılarının sayısı, alması ko¸suluyla kaç de˘ gi¸sik ¸sekilde da˘ gıtılabilir?"
x 1 + x 2 + + x k = n k sorusuna özde¸stir. Buna göre,
denklemini sa˘ glayan (x 1 ; x 2 ; :::; x k ) do˘ gal sayı 16 (3 + 4 + 5) = 4
k’lılarının sayısına e¸sittir. Dolayısıyla, bilyeyi 3 ki¸siye kaç ¸sekilde da˘ gıtaca˘ gımızı hesaplamak
x 1 + x 2 + + x k = n yeterlidir. Buna göre, yanıt :
6

n 1 = 15
denklemini; sa˘ glayan tane (x 1 ; x 2 ; :::; x k ) pozitif 2
k 1
tamsayı k’lısı vardır. bulunur.

a 5; b 6; c 6 ve d 2 olmak
üzere; a + b + c + d = 25 denklemini sa˘ glayan kaç
(a; b; c; d) pozitif tamsayı dörtlüsü vardır?
m + n + k = 10 denklemini sa˘ glayan kaç
(m; n; k) pozitif tamsayı üçlüsü vardır?

Bu kez, m; n; k sıfır olamayaca˘ gından,
sorumuz "10 bilye üç ki¸siye, herbiri en az bir bilye
almak ko¸suluyla kaç de˘ gi¸sik ¸sekilde da˘ gıtılabilir?"
sorusuyla özde¸stir. Bu ise, 10 3 = 7 bilyenin üç
Yanıt : 6+3 = 84:
ki¸siye kaç farklı ¸sekilde da˘ gıtılaca˘ gına e¸sde˘ gerdir. 3
Böylece, denklemi sa˘ glayan

7+3 1 = 36
3 1
de˘ gi¸sik (x; y; z) pozitif tamsayı üçlüsü vardır.
(Not : m + n + k = 10 denklemini sa˘ glayan
kaç (m; n; k) pozitif tamsayı üçlülerinin sayısı,
m + n + k = 7 denklemini sa˘ glayan kaç (m; n; k) x 3; y 4; z 5 olmak üzere;
do˘ gal sayı üçlülerinin sayısına e¸sittir.) x + y + z = 8 denklemini sa˘ glayan kaç (x + y + z)
pozitif tamsayı dörtlüsü vardır?

Bu soru; "en fazla 3; 4 ve 5 bilye alabilen
3 kutuya 8 bilye kaç de˘ gi¸sik ¸sekilde da˘ gıtılabilir"
sorusuna özde¸stir. Tüm bilyeleri kutulara da˘ gıttıktan
sonra
x + y + z = 15 denklemini sa˘ glayan; a)
(3 + 4 + 5) 8 = 4
Kaç (x; y; z) do˘ gal sayı üçlüsü vardır? b) Kaç tane
(x; y; z) pozitif tamsayı üçlüsü vardır? bilyelik bo¸s yer kalacaktır. Soruyu çözmek için; bu 4
bo¸s yerin 3 kutuda kaç de˘ gi¸sik ¸sekilde olabilece˘ gini
bulmak yeterlidir. 4 bo¸sluk; 3 kutuda

4+3 1 = 15
3 1
de˘ gi¸sik ¸sekilde olabilir. Fakat; 3 bilye alabilen kutuda 4
bo¸sluk olma durumu mümkün de˘ gildir. O halde; yanıt
15+3 1 12+3 1 15 1 = 14
Yanıt : a) = 136 b) = 9:
3 1 3 1
olur.