Page 37 - 8_sf_Dahimatik
P. 37
˙
˙
˙
36 DAHIMATIK - Matematik Yarı¸smalarına Ilk Adım M.Özdemir
˙
Iki basamaklı iki sayının rakamlarının n sayısının rakamları toplamıyla
çarpımı 360 oldu˘ guna göre, böyle iki sayının kendisinin toplamı 98 ise n sayısı kaçtır?
toplamının alabilece˘ gi en büyük de˘ ger kaçtır?
(U ˙ IMO - 1999)
Sayılarımız ab ve cd olsun. ab + cd
toplamının en büyük olması için, a ve c en büyük
3 2
olmalıdır. 360 = 2 3 5 ise,
2
3
a = 2 , c = 3 , b = 5 ve d = 1
Yanıt : 85.
alınmalıdır. Böylece, 85 + 91 = 176 elde edilir.
a; b; c birer rakam, abc üç basamaklı,
ab ise iki basamaklı bir sayı olmak üzere,
Kendisiyle, ondalık gösterimindeki
abc ab a = 2002 ise, b kaçtır? (U ˙ IMO - 2002)
basamakların ters sırada yazılmasıyla elde edilen
sayının toplamı bir tamkareye e¸sit olan kaç tane iki
basamaklı pozitif tamsayı vardır? (U ˙ IMO - 2002)
2
ab + ba = x e¸sitli˘ ginde sol taraf
çözümlenirse,
11 (a + b) = x 2
Yanıt : a = 1; b = 4 ve c = 3:
olur. Bu e¸sitlikte 11 asal oldu˘ gundan, a + b = 11
olmalıdır. Buna göre,
29; 38; 47; 56; 65; 74; 83 ve 92
n pozitif tamsayısı için; n sayısının istenen ¸sekildeki sayılardır ve 8 tanedir.
rakamları toplamıyla kendisinin toplamı 111 ise n
sayısı hangi sayılar olabilir?
E˘ ger n sayısı iki basamaklı ise, ab
formunda olacaktır. Soruya göre, xxx, yyy ve zzz üç basamaklı, xxxu ise
ab + a + b = 111 dört basamaklı sayılardır. Her harf birbirinden
farklı bir rakamı göstermek üzere,
olmalıdır. Çözümlersek,
xxx + yyy + zzz = xxxu
(10a + b) + a + b = 11a + 2b = 111
ise, x + y + z + u =?
olur. a ve b birer rakam oldu˘ gundan, f0; 1; 2; :::; 9g
olabilir. 11a + 2b = 111 e¸sitli˘ gine göre, a çok
Çözümlersek,
büyük seçilmeli ki, b bir rakam olsun. a = 9 alınırsa,
99 + 2b = 111 e¸sitli˘ ginden, xxx = 100x + 10x + x = 111x
2b = 111 99 = 12 ise b = 6 olaca˘ gından,
olur. Yani, a = 9 ve b = 6 için istenen sa˘ glanır. 111x + 111y + 111z = 1000x + 100x + 10x + u
Gerçekten, 96 + 9 + 6 = 111’dir.
ve buradan da,
E˘ ger sayı üç basamaklı ise, 1ab ¸seklinde olacaktır. 111y + 111z = 999x + u
Buna göre,
elde edilir. Bu e¸sitli˘ ge göre, tüm terimler 111’e
1ab + 1 + a + b = 111
100 + 10a + b + 1 + a + b = 111 bölünece˘ ginden, u = 0 olmalıdır. Ayrıca, y ve z’nin
rakam olabilmesi için x = 1 olmalıdır. Buna göre,
e¸sitli˘ ginden,
111 (y + z) = 999
11a + 2b = 10
e¸sitli˘ ginden, y + z = 9 elde edilir. Böylece,
olmalıdır. Buna göre, a = 0 ve b = 5 alınabilir.
Böylece, 105 sayısı elde edilir. 105 + 1 + 5 = 111 x + y + z + u = 10
sa˘ glanır. olur.