Page 37 - 8_sf_Dahimatik
P. 37

˙
                                                                    ˙
                                       ˙
         36                        DAHIMATIK - Matematik Yarı¸smalarına Ilk Adım            M.Özdemir
                  ˙
                 Iki basamaklı iki sayının rakamlarının            n sayısının rakamları toplamıyla
          çarpımı 360 oldu˘ guna göre, böyle iki sayının  kendisinin toplamı 98 ise n sayısı kaçtır?
          toplamının alabilece˘ gi en büyük de˘ ger kaçtır?
          (U ˙ IMO - 1999)

                    Sayılarımız ab ve cd olsun. ab + cd
          toplamının en büyük olması için, a ve c en büyük
                         3 2
          olmalıdır. 360 = 2 3 5 ise,
                              2
                        3
                   a = 2 , c = 3 , b = 5 ve d = 1
                                                         Yanıt : 85.
          alınmalıdır. Böylece, 85 + 91 = 176 elde edilir.




                    a; b; c birer rakam, abc üç basamaklı,
          ab ise iki basamaklı bir sayı olmak üzere,
                                                                Kendisiyle, ondalık gösterimindeki
          abc ab a = 2002 ise, b kaçtır? (U ˙ IMO - 2002)
                                                         basamakların ters sırada yazılmasıyla elde edilen
                                                         sayının toplamı bir tamkareye e¸sit olan kaç tane iki
                                                         basamaklı pozitif tamsayı vardır? (U ˙ IMO - 2002)

                                                                             2
                                                                  ab + ba = x e¸sitli˘ ginde sol taraf
                                                         çözümlenirse,
                                                                        11 (a + b) = x 2
          Yanıt : a = 1; b = 4 ve c = 3:
                                                         olur. Bu e¸sitlikte 11 asal oldu˘ gundan, a + b = 11
                                                         olmalıdır. Buna göre,
                                                                  29; 38; 47; 56; 65; 74; 83 ve 92
                 n pozitif tamsayısı için; n sayısının   istenen ¸sekildeki sayılardır ve 8 tanedir.
          rakamları toplamıyla kendisinin toplamı 111 ise n
          sayısı hangi sayılar olabilir?

                   E˘ ger n sayısı iki basamaklı ise, ab
          formunda olacaktır. Soruya göre,                      xxx, yyy ve zzz üç basamaklı, xxxu ise
                        ab + a + b = 111                 dört basamaklı sayılardır. Her harf birbirinden
                                                         farklı bir rakamı göstermek üzere,
          olmalıdır. Çözümlersek,
                                                                    xxx + yyy + zzz = xxxu
                 (10a + b) + a + b = 11a + 2b = 111
                                                        ise, x + y + z + u =?
          olur. a ve b birer rakam oldu˘ gundan, f0; 1; 2; :::; 9g
          olabilir. 11a + 2b = 111 e¸sitli˘ gine göre, a çok
                                                                  Çözümlersek,
          büyük seçilmeli ki, b bir rakam olsun. a = 9 alınırsa,
          99 + 2b = 111 e¸sitli˘ ginden,                         xxx = 100x + 10x + x = 111x
                   2b = 111   99 = 12 ise b = 6          olaca˘ gından,
          olur. Yani, a = 9 ve b = 6 için istenen sa˘ glanır.  111x + 111y + 111z = 1000x + 100x + 10x + u
          Gerçekten, 96 + 9 + 6 = 111’dir.
                                                         ve buradan da,
          E˘ ger sayı üç basamaklı ise, 1ab ¸seklinde olacaktır.    111y + 111z = 999x + u
          Buna göre,
                                                         elde edilir. Bu e¸sitli˘ ge göre, tüm terimler 111’e
                      1ab + 1 + a + b = 111
                  100 + 10a + b + 1 + a + b = 111        bölünece˘ ginden, u = 0 olmalıdır. Ayrıca, y ve z’nin
                                                         rakam olabilmesi için x = 1 olmalıdır. Buna göre,
          e¸sitli˘ ginden,
                                                                       111 (y + z) = 999
                          11a + 2b = 10
                                                         e¸sitli˘ ginden, y + z = 9 elde edilir. Böylece,
          olmalıdır. Buna göre, a = 0 ve b = 5 alınabilir.
          Böylece, 105 sayısı elde edilir. 105 + 1 + 5 = 111          x + y + z + u = 10
          sa˘ glanır.                                    olur.
   32   33   34   35   36   37   38   39   40   41   42