Page 327 - 8_sf_Dahimatik

˙
˙
˙
326 DAHIMATIK - Matematik Yarı¸smalarına Ilk Adım M.Özdemir
(13123) sayısı kaç 100’den küçük do˘ gal Üç basamaklı (cba) sayısı (abc) sayısının
a 6 6
sayı için asal de˘ gildir? üç katından 1 fazla ise, a + b + c kaç farklı de˘ ger
olabilir?

(cba) = 3 (abc) + 1 e¸sitli˘ ginden
4
3
2
(13123) = a + 3a + a + 2a + 3 6 6
a 2 2
¸ seklinde yazılabilir. Taban yani, a sayısı parantez 6 c + 6b + a = 3 6 a + 6b + c 1
içindeki en büyük rakamdan büyük olmalıdır. Yani, olur. Düzenlenirse,
a > 3 olaca˘ gı açıktır. ¸Simdi sa˘ g taraftaki ifadeyi
33c = 107a + 12b + 1
çarpanlara ayıralım.
olur. Bu e¸sitli˘ ge göre, a sayısı en fazla 1 olabilir. 2
4
2
3
a + 3a + a + 2a + 3
olursa, c’nin 6’dan büyük olması gerekir. Buna göre,
3
4
2
2
3
= a + a + 2a + 2a a a + 3a + 3 a = 1 ise, 33c = 108 + 12b e¸sitli˘ ginden, c > 3
¸ seklinde yazabiliriz. Bu e¸sitli˘ gin sa˘ g tarafındaki ifadeyi olmalıdır. Buradan, c = 4 ve b = 2 bulunabilir.
sırasıyla iki¸ser iki¸ser gruplarsak, a = 0 ise, 33c = 12b + 1 e¸sitli˘ gine göre, c tek sayı
olmalıdır. 1,3,5 için kontrol edilirse, çözümün olmadı˘ gı
2
3
4
a + 3a + a + 2a + 3
görülür. Yanıt. 1 + 2 + 4 = 7 olur.
4 3 3 2 2
= a + a + 2a + 2a a + a + (3a + 3)
2
3
= a (a + 1) + 2a (a + 1) a (a + 1) + 3 (a + 1)
3 2
= (a + 1) a + 2a a + 3
8 tabanına göre yazılımları (abc) ve
8
¸ seklinde çarpanlarına ayırabiliriz. a > 3 için bu ifade
(cba) olan üç basamaklı sayılardan ikincisi ilkinin iki
asal olamaz. O halde, 8
katı ise, a; b ve c’yi bulunuz. (U ˙ IMO - 1996)
4; 5; 6; :::; 99
tabanlarında verilen sayı asal de˘ gildir. Yanıt :
99 4 + 1 = 96:
Yanıt : a = 2; b = 7 ve c = 5:
(12) (15) (16) = (3146) ise
b
b
b
b
(12) + (15) + (16) sayısının 10 tabanındaki
b b b
kar¸sılı˘ gı nedir? (UMO - 1994)
Önce b’yi bulalım.
b tabanında verilmi¸s (11) ; (111) ;
b b (12) (15) (16) = (3146)
(1111) ; (11111) sayılarından hangisi b > 1 do˘ gal b b b b
b b
sayısı ne olursa olsun asal de˘ gildir? (UMO - 1995) e¸sitli˘ ginden,
2
3
(b + 2) (b + 5) (b + 6) = 3b + b + 4b + 6
(11) = b + 1 sayısı asal sayı olabilir.
b olur. Buradan, sol taraf çarpılıp sadele¸stirme yapılırsa,
Örne˘ gin b = 2 için. 3 2
b = 6b + 24b + 27
2
(111) = b + b + 1
b
elde edilir. E¸sitli˘ gin sa˘ g tarafı 3’e bölündü˘ günden
sayısı b = 2 için asaldır. sol tarafı da bölünmeli, dolayısıyla b sayısı 3’ün

3
2
2
(1111) = b + b + b + 1 = (b + 1) b + 1 katı olmalıdır. (3146) sayısına göre, b > 6 olması
b
b
gerekti˘ ginden, b = 9 için denklemi kontrol edelim.
oldu˘ gundan; b > 1 için bu sayının daima 1’den farklı
2
3
iki çarpanı vardır. Yani asla asal sayı olamaz. 9 = 6 9 + 24 9 + 27 = 729
2
3
4
(11111) = b + b + b + b + 1 oldu˘ gundan b = 9 olur. Böylece,
b
sayısı b = 2 için 31 oldu˘ gundan asaldır. (12) + (15) + (16) = 11 + 14 + 15 = 40
9
9
9
Sonuç olarak, (1111) sayısı asla asal olamaz.
b elde edilir.