Page 331 - 8_sf_Dahimatik

˙
˙
˙
330 DAHIMATIK - Matematik Yarı¸smalarına Ilk Adım M.Özdemir
10 200 sayısı 19 tabanında yazılırsa son 2005 2003 2004 +3 sayısı 3 tabanına göre
basama˘ gı kaç olur? yazıldı˘ gında son iki basamak ne olur? (UMO - 2004)

2005 2003 2004 +3 ? (mod 9)’u bulaca˘ gız.
10 200 ? (mod 19) 2005 2003 2004 +3 7 2003 2004 +3 (mod 9)
de˘ gerini bulmalıyız. Fermat teoremine göre; denkli˘ gine göre,
1
7 7 (mod 9) ;
18
10 1 (mod 19) 2
7 4 (mod 9) ;
oldu˘ gundan; 7 1 (mod 9)
3
2
10 200 = 10 18 11 10 100 5 (mod 19) oldu˘ gundan; mod3’te 2003 2004 + 3 ifadesini bulalım.
bulunur. 2003 2004 + 3 2 2004 1 2002 1 (mod 3)
olur. O halde;
1
2005 2003 2004 +3 7 7 (mod 9)
elde edilir. 7 sayısı 3 tabanına göre yazıldı˘ gında
7 = (21) oldu˘ gundan; son iki rakamı 21 olur.
3

k Tabanında Virgüllü Sayıların Çözümlenmesi

10 1214 sayısının 13 tabanındaki Herhangi bir tabanda virgüllü sayılardan bahsedebili-
riz. Onluk tabandakine benzer ¸sekilde, tabanın k oldu˘ gu
yazılı¸sında, son rakamı kaçtır?
gözönünde bulundurularak hesaplanır. Örne˘ gin,
2
0
1
(abc; de) = a k + b k + c k + d k 1 + e k 2
k
¸ seklinde yazılır.

2
2
Yanıt : 9, (10 1214 10 12 101 10 ( 3)
9 (mod 13)): (104; 32) ifadesinin de˘ gerini hesaplayınız.
5
742
2
1
2
1
0
(104; 32) = 1 5 +0 5 +4 5 +3 5 +2 5 =
5
25
bulunur.
47
kesrini 4 tabanında yazınız.
2
47 1
= 23 + ’tür. Tam kısmı,
26
8 125 48 sayısının yedi tabanına göre 2 2
2
1
23 = 1 4 + 1 4 + 3
yazımının son iki basama˘ gı nedir? (U ˙ IMO - 2007)
oldu˘ gundan dolayı, 23 = (113) ¸seklindedir. Kesir
4
kısmı ise,
1 a 1 a 2 a 3

26
8 125 48 ? mod 7 2 = + 2 + 3 +
2 4 4 4
denkli˘ gini hesaplayaca˘ gız. ¸ seklinde olacaktır. Bu e¸sitli˘ gi 4 ile çarpalım. Buna

78
26
6
8 125 48 = 2 5 144 = 2 2 5 2 72 göre,
4 a 2 a 3

6
2 15 mod 7 2 = 2 = a 1 + 1 + 2 +
2 4 4
olur. e¸sitli˘ ginden, a 1 = 2 ve a 2 = a 3 = = 0 olur.
47
15 = (21) = (113; 2)
7 4
2
oldu˘ gundan; 7 tabanına göre son iki rakam 21 bulunur. bulunur.