Page 330 - 8_sf_Dahimatik

˙
˙
˙
DAHIMATIK - Matematik Yarı¸smalarına Ilk Adım 329
100! sayısı 6 tabanında yazılırsa sondan 3 102 sayısının 5 tabanındaki yazılı¸sında
kaç basama˘ gı 0 olur? son basama˘ gı kaçtır?

6 tabanındaki bir sayının sondaki 3 102 ? (mod 5) ’i hesaplayalım.
sıfırlarının sayısı da 6’nın çarpanlarının sayısına 3 1 (mod 5)
4
ba˘ glıdır. 6 = 2 3 oldu˘ gundan, 6 tabanında da, 0’ların
sayısını bulmak için, 2 ve 3’lerin sayısına bakarız. 100! oldu˘ gu buunabilir. Buradan,
içinde, 2 çarpanlarının sayısı 3 çarpanlarının sayısından 3 100 2
3 1 9 5 (mod 5)
fazla olaca˘ gından, sadece 3 çarpanlarının sayısını
elde edilir. Yani son rakam 4’tür.
bulmamız yeterlidir. Buna göre,
100 3 100 9 100 27 100 81
99 33 - 99 11 81 3 81 1
1 1 19 19

oldu˘ gundan, 100! sayısı 6 tabanında yazılırsa sondan 5 2013 sayısının 2 tabanındaki yazılı¸sında,
33 + 11 + 3 + 1 = 48 son dört rakamı kaçtır?
basama˘ gı 0 olur. 2013 4
5 ? mod 2 de˘ gerini bulmalıyız.
2
4
5 9 (mod 16) ve 5 1 (mod 16)
100! sayısı 7 tabanında yazılırsa sondan oldu˘ gundan,
kaç basama˘ gı 0 olur? 2013 503 503
4
5 = 5 5 1 5 5 (mod 16)
olur.
5 = (0111)
2
oldu˘ gundan, son dört rakam 0111’dir.

Yanıt : 16.

F Bir Sayının k Tabanında Sondaki Rakamları F
100 100 sayısının 2 tabanındaki
10 tabanındaki bir A sayısının k tabanındaki yazılı¸sında, son dört rakamı kaçtır?
yazılı¸sında
Son rakam, A sayısının mod k’daki de˘ gerine,
2
Sondan iki rakam, A sayısının mod k ’deki
de˘ gerine,
3
Sondan üç rakam, A sayısının mod k ’deki
de˘ gerine,
n
Sondan n rakam, A sayısının mod k ’deki
Yanıt : 0000.
de˘ gerine e¸sittir.
(Not : 10 tabanında bir sayının son rakamını bulmak
için, mod 10’a, son iki rakamını bulmak için mod 100’e 110 20 sayısının 3 tabanındaki yazılı¸sında,
baktı˘ gımızı hatırlayınız.) son üç rakamı kaçtır?
Örne˘ gin, 12345 sayısının 2 tabanındaki yazılı¸sında son-
dan üç basama˘ gını hesaplamak için,

12345 ? mod 2 3
de˘ gerini hesaplamalıyız. 12345 3 (mod 8) ve
3 = (011) oldu˘ gundan son üç rakam 011 olur.
2
2
4
Yanıt : 004, (110 20 2 20 5 ( 2) 4 (mod 27)):