Page 334 - 8_sf_Dahimatik

˙
˙
˙
DAHIMATIK - Matematik Yarı¸smalarına Ilk Adım 333
10 rakamlı bütün pozitif tamsayıların
M = 111:::1 1 000:::0 5 + 1 toplamının 11’e bölümünden kalan kaçtır?
| {z } | {z }
100 tane 1 99 tane 0
sayısının karekökünün rakamları toplamı kaçtır?

Sayılar, 10’un kuvvetleri cinsinden
yazılırsa,
M = 111:::1 1 000:::0 5 + 1
| {z } | {z } 8
Yanıt : 10’dur. (45 10999999999 10 10 (mod 11))
100 tane 1 99 tane 0
1 100 100
= 10 1 10 + 5 + 1
9
9
1 200 100
= 10 + 4 10 5 +
9 9 111:::1 sayısının 1001001 sayısına
| {z }
100 2
10 + 2 72 tane 1
= bölündü˘ günü gösteriniz.
3
olur. Buradan,
111:::1 sayısını 10’un kuvveti cinsinden
99 tane | {z }
72 tane 1
z }| {
p 10 100 + 2 1 000:::0 2 yazıp, çarpanlarına ayırırsak,
M = = = 333:::3 4
3 3 | {z } 1
99 tane 3 111:::1 = 111:::1
| {z } 9 | {z }
bulunur. Buna göre, sayımızın rakamları toplamı 72 tane 1 7 tane 1
99 3 + 4 = 301 olur. 1 72
= 10 1
9
1 36 36
= 10 1 10 + 1
9
1 18 18 36
= 10 1 10 + 1 10 + 1
9
1 9 9 18 36
= 10 1 10 + 1 10 + 1 10 + 1
9
elde edilir. Di˘ ger yandan,
6
3
100 rakamlı bütün pozitif tamsayıların 1001001 = 10 + 10 1 + 1
toplamının sonunda kaç tane sıfır vardır? ve

3
6
9
3
10 1 = 10 1 10 + 10 1 + 1
100 rakamlı en küçük sayı 10 99 ve 100 rakamlı en oldu˘ gundan verilen sayı 1001001 ile tam bölünür.
büyük sayı ise 10 100 1’dir. Buna göre, 100 rakamlı
sayıların sayısı :
N = 10 100 1 10 99 + 1
99
= 10 (10 1) F Çözümleme Örnekleri F
= 9 10 99 n tane a ve m tane b rakamından olu¸san a¸sa˘ gıdaki for-
mdaki sayıları nasıl çözümledi˘ gimize dikkat ediniz.
olur. O halde, 100 rakamlı tüm sayıların toplamı :
a b
m
m
n
˙ Ilk Terim + Son Terim aaa:::aaa bbb:::bbb = (10 1) 10 + (10 1)
S = (T. Sayısı) | {z } | {z } 9 9
2 n tane m tane
10 99 + 10 100 1
99 5 n m 1 m
=9 10 555:::555 111:::11= (10 1) 10 + (10 1)
2 | {z } | {z } 9 9
1 98 99 100 n tane m tane
= 90 10 10 + 10 1
2 Örne˘ gin,
98

=45 10 10 99 + 10 100 1 5 5 4 1 4
555551111 = 10 1 10 + 10 1
=45 10 99:::99 10 98 9 9
| {z }
99 tane
oldu˘ gundan, S sayısının sonunda 98 tane 0 vardır.