Page 336 - 8_sf_Dahimatik

˙
˙
˙
DAHIMATIK - Matematik Yarı¸smalarına Ilk Adım 335
511 999:::999 sayısının 1999’e tam 100 tane 1 ve 99 tane 0’dan olu¸san 199
| {z }
n tane basamaklı 10101010:::0101 sayısının asal olmadı˘ gını
bölünebilmesi için n sayısı en küçük kaç olabilir? gösteriniz.
Verilen sayıyı çözümleyelim.
10101010:::0101 = 1 + 100 + 10000 + + 100:::00
4
2
= 1 + 10 + 10 + + 10 200
2
= 1 + 100 + 100 + + 100 100
¸ seklinde yazabiliriz.
a n+1 1
2
n
1 + a + a + + a =
a 1
oldu˘ gunu hatırlayınız. Buna göre,
Yanıt : 27. 100 101 1 10 202 1
10101010:::0101 = =
100 1 99
101 101
10 1 10 + 1
=
99
¸ seklinde yazabiliriz.

n
a 1 = (a 1) a n 1 + a n 2 + + 1
ve n tek iken,

n
a + 1 = (a + 1) a n 1 a n 2 + + 1
oldu˘ gu hatırlanırsa,
Bir do˘ gal sayının karesi olan ve ilk 9 10 101 1 10 101 + 1
basama˘ gı 9 olan 20 basamaklı kaç sayı vardır?
99
de˘ geri
˙ Ilk 9 basama˘ gı 9 olan en küçük sayı, 100 99 100 99
˙
10 20 10 11 en büyük sayı ise 10 20 1 ’dir. Istenilen = 9 10 +10 + +1 11 10 10 + +1
sayılar bu iki sayının arasında olmalıdır. ¸Simdi, bu iki 100 99 9 11 100 99

= 10 +10 + + 1 10 10 + + 1
sayı arasında tamkare olan sayıları bulalım.
10 2 20 elde edilir. Yani, 10101010:::0101 asal de˘ gildir.
10 = 10
oldu˘ gundan, istenen sayılar 10 10 1 sayısının
karesinden büyük olamaz. Di˘ ger taraftan,
101 tane 1 ve 100 tane 0’dan olu¸san 201
10 2 20 10
10 5 = 10 10 10 + 25
basamaklı 10101010:::0101 sayısının asal olmadı˘ gını
= 10 20 10 11 + 25 gösteriniz.
> 10 20 10 11
oldu˘ gundan,
10 2 10 2 10 2
10 1 ; 10 2 ; 10 3 ;
10 2 10 2 n+1
10 4 ; 10 5 Yanıt : n tek ise, 10 1 sayısının 99’a
bölünebildi˘ gini kullanınız.
10 2
sayıları belirtilen aralıktadır. Acaba, 10 6 sayısı
da istenen aralıkta mıdır?
10 2 20 10 101; 10101; 1010101; :::; 10101:::101
10 6 = 10 12 10 + 36 | {z }
100 tane 1
= 10 20 10 11 2 10 10 + 36 dizisinde kaç tane asal sayı vardır? (UMO - 1993)
< 10 20 10 11
oldu˘ gundan,
10 2
10 6
sayısı bu aralı˘ gın dı¸sındadır. O halde istenen ¸sekilde 5 Yanıt : 1 (Sadece 101).
sayı vardır.