Page 338 - 8_sf_Dahimatik

˙
˙
˙
DAHIMATIK - Matematik Yarı¸smalarına Ilk Adım 337
Üslü Sayılarda Basamak Sayısı
En soldaki rakamı, en sa˘ ga geçti˘ ginde
7
’si elde edilen en küçük sayı kaçtır?
2 3 4
48 125 sayısı kaç basamaklıdır?
Asal çarpanlarını yazıp, 10’un kuvveti
olarak yazarsak,

12
3
4
48 125 = 3 2 4 3 5 3 4 = 27 2 5 12 = 27 10 12
elde edilir. Yani, 14 basamaklıdır.
Yanıt : 153846.

N sayısının ondalık yazımında birler
basama˘ gındaki rakam 2’dir. Bu rakamı bulundu˘ gu 5 100 sayısının ondalık yazımı ile, 2 100
yerden kaldırıp en ba¸sa yazdı˘ gımızda elde etti˘ gimiz sayısının ondalık yazımı art arda yazılarak, n
sayı N sayısının iki katı ise, N’nin basamak sayısı en basamaklı bir sayı elde ediliyor. n kaçtır?
az kaçtır? (UMO - 1997)
2 100 sayısı, k basamaklı ve 5 100 sayısı da
m basamaklı olsun. Bu sayılar art arda yazılırsa yeni
sayı m + n basamaklı sayı olur.
10 k 1 < 2 100 < 10 k
10 m 1 < 5 100 < 10 m
e¸sitsizliklerini çarpalım. Bu durumda,
n
2 (10 1)
Yanıt : 18. (N = ve Fermat teoreminden, 10 k+m 2 < 10 100 < 10 m+k
19
10 19 1 = 10 18 1 (mod 19) oldu˘ gunu kullanınız.) olur. Bu e¸sitsizli˘ gin sa˘ glanması için
k + m 2 < 100 < m + k
olmalıdır. Bu e¸sitsizli˘ ge göre ise, k + m 1 = 100
yani,
k + m = 101

Bir A sayısının sa˘ gına üç rakam bulunur. Yani, n = 101’dir.
yazıldı˘ gında,
1 + 2 + + A

toplamına e¸sit oluyor. Bu ¸sekilde kaç tane A pozitif
tamsayısı vardır? (UMO - 2002)

Axyz = 1 + 2 + + A e¸sitli˘ gine göre,
A (A + 1) 1998 1998
1000 A + xyz = 2 sayısının ondalık yazılımı ile 5
2
sayısının ondalık yazılımını art arda yazarsak, olu¸san
yazabiliriz. Buna göre, yeni sayı kaç basamaklı olur? (UMO - 1998)
2
2000A + 2 xyz = A + A
e¸sitli˘ ginden
A (A 1999) = 2 xyz
olur. A 2000 için bu e¸sitlik sa˘ glanamaz. Çünkü, sol
taraf 2000’den büyük bir sayı olur. Fakat sa˘ g tarafta,
xyz = 999 olsa bile, sa˘ g taraf en fazla 1998 olabilir.
Yanıt : 1999.
A = 1999 alınırsa, xyz = 000 olacaktır.