Page 337 - 8_sf_Dahimatik

˙
˙
˙
336 DAHIMATIK - Matematik Yarı¸smalarına Ilk Adım M.Özdemir
Rakam De˘ gi¸stirme Soruları ˙ Ilk rakamı 8 olan ve sayının ilk rakamı
1
silindi˘ ginde ’i elde edilen kaç pozitif tamsayı
35
F Sayılarda Çoklu Kısım De˘ gi¸stirme F vardır?

B, n basamaklı bir sayı ve A ise k basamaklı bir sayı
ise,
n
AB = A 10 + B;
k
BA = B 10 + A
¸ seklinde yazılır.
Yanıt : 0.

˙
Ilk rakamı 6 olan ve sayının ilk rakamı
silinince 25’te biri elde edilen kaç tane pozitif
tamsayı vardır? (KANADA M.O. 1970)
1
6 ile ba¸slayan, ve 6 silindi˘ ginde ’sı
A; n 1 basamaklı bir sayı olmak üzere, 126
elde edilen en fazla 6 basamaklı kaç sayı vardır?
n basamaklı 6A = 6 10 n 1 + A sayısını göz önüne
alalım. Bu durumda, 6 silinince elde edilen sayımız, A
olur. Soruda verilen ko¸sulumuzdan, sırasıyla,
6 10 n 1 +A = 25A ) 4A = 10 n 1 ) A = 25 10 n 3
elde edilir. O halde,
A = 25; 250; 2500; :::
Yanıt : 3. (6048,60480,604800)
olmalıdır. Buradan,
625; 6250; 62500; :::
formundaki sayılar istenen ko¸sulu sa˘ glarlar. Yani,
istenen ¸sekilde sonsuz sayıda pozitif tamsayı vardır.

En soldaki rakamı silindi˘ ginde 29’da 1’i
En soldaki rakamı, en sa˘ ga geçti˘ ginde 3
elde edilen en küçük pozitif tamsayının rakamları katı elde edilen en küçük sayıyı bulunuz.
toplamını bulunuz. (AIME 2006)
De˘ gi¸sen rakam a ve geri kalan n basamaklı
a en soldaki rakam ve B sayısı da n
sayı da B olmak üzere sayımız aB olsun. Bu durumda,
basamaklı bir sayı olmak üzere, sayımızı
n
aB = a 10 + B
n
a 10 + B
olur. a en sa˘ ga geçti˘ ginde,
¸ seklinde yazabiliriz. a silinirse n basamaklı B sayısı
elde edilir ve soruda verilen orandan, Ba = 10 B + a
n
a 10 + B olur. Ba = 3 aB oldu˘ gundan,
B =
29 10 B + a = 3 (a 10 + B) ;
n
yazılabilir. Buradan n
10 B 3B = 3a 10 a
2
n
2 7 B = 10 a
elde edilir. Buradan,
n
olur. Bu e¸sitli˘ ge göre, 10 , 7 çarpanına sahip n
3 10 1 2999:::9
olmadı˘ gından a = 7 olmalıdır. Di˘ ger taraftan, sa˘ g B = a 7 = a 7
tarafın 4’e bölünebilmesi için n en küçük 2 olmalıdır.
bulunur. B’nin en küçük olması için, a = 1 alırız. Sıfır
Böylece, b = 25 ve istenen ¸sekildeki en küçük sayımız
kalanı elde edinceye kadar, 2999..9’u 7’ye bölersek,
da 725 olur. Yanıt,
299999 sayısının 7’ye bölündü˘ günü görürüz. Bölümü
7 + 2 + 5 = 14 de, B = 42 857 buluruz. O halde istenen ¸sekildeki en
olur. küçük sayı 142857’dir.