Page 339 - 8_sf_Dahimatik

˙
˙
˙
338 DAHIMATIK - Matematik Yarı¸smalarına Ilk Adım M.Özdemir
n
2 sayısının ondalık yazılımı 5 ile F 9 ile Çarpmada Basamak Sayısı F
n
ba¸slıyorsa, 5 sayısının ondalık yazılımı hangi
rakam ile ba¸slar? Bir sayıyı 9 ile çarptı˘ gımızda, elde edilen sayı 9 ile
ba¸slamıyorsa basamak sayısı, çarpılan sayının basamak
n
2 sayısı k + 1; x rakamı ile ba¸slayan 5 n sayısına göre daima bir fazla olur. Çarpım 9 ile ba¸slıyor
sayısı da m + 1 basamaklı olsun. Buna göre, A sayısı ise basamak sayısı de˘ gi¸smez.
k basamaklı ve B sayısı m basamaklı sayılar olmak
üzere, Örne˘ gin,
n
n
m
k
2 = 5 10 + A ve 5 = x 10 + B 102 9 = 918;
yazılabilir. Buna göre bu iki ifadenin taraf tarafa
(Çarpım 9 ile ba¸slamı¸s ve çarpım ile çarpılanın her ikisi
çarpılmasıyla,
de 3 basamaklı)
m
k
n
10 = 5 x 10 k+m + 5 B 10 + A x 10 + A B
olur.
120 9 = 1080
n
10 > 5 x 10 k+m
(Çarpım 9 ile ba¸slamamı¸s ve çarpım ile çarpılana göre,
oldu˘ gundan, 1 fazla basama˘ ga sahip)
5 x < 10 n k m
olacaktır. x rakam oldu˘ gundan dolayı, n k m
de˘ geri 1’den büyük olamaz. Buna göre, 5 x < 10
e¸sitsizli˘ ginden x = 1 elde edilir. 110
9 sayısının 106 basamaklı ve soldan ilk
rakamının 9 oldu˘ gu bilindi˘ gine göre,
2
3
1
9 ; 9 ; 9 ; :::; 9 110
n
2 sayısının ondalık yazılımı 7 ile sayılarından kaçının en soldaki basama˘ gı 9’dur?
n
ba¸slıyorsa, 5 sayısının ondalık yazılımı hangi rakam 9 110 sayısı 9 sayısından 105 daha fazla
1
ile ba¸slar? (UMO - 2001)
basama˘ ga sahiptir. 9 ile ba¸slayan çarpımlar olmasaydı
9 110 sayısının 110 basamaklı olması beklenirdi. Yani,
her çarpımda basamak sayısı 1 artardı. Demek ki,
110 105 = 5
sayı 9 ile ba¸slıyor.
Yanıt : 1.

k
A = 9 : k 2 Z ve 0 k 4000
kümesi veriliyor. 9 4000 sayısı 3817 basamaklı ve en
soldaki basama˘ gı 9 ise, A kümesinin kaç elemanının
en soldaki basama˘ gı 9’dur? (AIME 1990)
1
2
3
1 + 2 + 3 + + 999 999 + 1000 1000
sayısının en soldaki üç rakamı kaçtır?

2
3
1
n = 1 + 2 + 3 + + 999 999 + 1000 1000
Yanıt : 4000 3816 = 184:
diyelim.
3
2
1
1000 1000 < n < 1000 +1000 +1000 + +1000 1000
e¸sitsizli˘ gine göre, Çözümleme konusu ile ilgili daha zor ve farklı soruları
1 00:::00 < n < 1 001001:::100 "Matematik Olimpiyatlarına Hazırlık 1" kitabında
| {z } | {z } bulabilirsiniz.
3000 tane 3000 tane
oldu˘ gundan, en soldan ilk üç basama˘ gı kesinlikle 100
olacaktır.