Page 340 - 8_sf_Dahimatik

˙
˙
˙
DAHIMATIK - Matematik Yarı¸smalarına Ilk Adım 339
˙
Çözümleme Içeren Denklemler m = abab ve n = cdcd dört basamaklı iki
tamsayı olsun. m + n sayısının tamkare olmasını
Çözümleme içeren denklemlerden daha önce
sa˘ glayan (m; n) çiftleri için,
çözmü¸stük. Bu kısımda, bu sorulardan biraz daha zor
a b c d
olanlarını çözece˘ giz.
çarpımı en çok kaç olabilir? (UMO - 1998)
Soldaki ilk iki rakamı, sa˘ gdaki iki
rakamından 1 fazla olan dört basamaklı sayılardan
m = abab ise
kaç tanesi tamkaredir?
m = 1000a + 100b + 10a + b
Dört basamaklı sayımız, axyb olsun. Bu ve n = cdcd ise
durumda,
n = 1000c + 100d + 10c + d
i) y = a ve x = b + 1 ya da, ii) b = 9; x = 0 ve
y = a 1 olur. oldu˘ gundan,
i) durumuna bakalım. m + n = 101 (10 (a + c) + (b + d))
a (b + 1) ab = x 2 ise olur. m + n sayısının tamkare olması için,
2
x = 1000a + 100 (b + 1) + 10a + b
10 (a + c) + (b + d) = 101
e¸sitli˘ ginden,
olmalıdır. Bu e¸sitli˘ gi sa˘ glayacak en büyük a; c; b ve
(x 10) (x + 10) = 101 (10a + b)
d sayılarını bulmak istedi˘ gimiz için, a + c = 9 ve
olur. 101 sayısı asal ve 10a + b sayısından büyük b + d = 11 e¸sitliklerinden, a = 5; c = 4; b = 6; d = 5
oldu˘ gundan, x + 10 = 101 ve buradan da x = 91 elde alınabilir. Böylece,
2
edilir. Bu durumda, x = 8281’dir. a b c d = 600
ii) durumu için, a0 (a 1) 9 formatında bir tamkare
olmadı˘ gı kontrol edilebilir. 2019, 3029, :::; 9089 bulunur.
sayılarının hiçbiri tamkare de˘ gildir. O halde, istenen
¸ sekilde sadece 1 sayı vardır.

Rakamları toplamının dördüncü
kuvvetine e¸sit olan dört basamaklı kaç sayı vardır?
i, o, p, t, y 2 f0; 1; 2; :::; 9g olmak üzere,
2
top = iyitop ise, y i kaçtır? (UMO - 2004)
abcd dört basamaklı sayı olsun.
4
2
2
top = iyitop ise top = iyi000 + top (a + b + c + d) = abcd
e¸sitli˘ ginden,
e¸sitli˘ gine göre, a + b + c + d = 10 olursa
3
top (top 1) = iyi 10 = iyi 8 125 4
(a + b + c + d)
olur. Sol taraf ardı¸sık iki sayının çarpımıdır ve bu
be¸s basamaklı ve a + b + c + d = 5 olursa,
sayılar aralarında asaldır. O halde,
(a + b + c + d) 4
top veya top 1
sayısı üç basamaklı olacaktır. Buna göre,
sayılarından biri 125’in, di˘ geri de 8’in katı olmalıdır.
a + b + c + d 2 f6; 7; 8; 9g olabilir. Bunları kontrol
Di˘ ger taraftan, sa˘ g taraf 6 basamaklı oldu˘ gundan,
2
300 = 90 000 oldu˘ gu için, top > 300 olmalıdır. Buna edelim. 4
6 = 1296 ise 6 6= 1 + 2 + 9 + 6 olaca˘ gından
göre, 125’in katlarından hareket edersek, 300’den
istenen ¸sart sa˘ glanmaz.
büyük olan ilk sayı 375 olabilir. 4
7 = 2401 ise 7 = 2 + 4 + 0 + 1 e¸sitli˘ ginden,
E˘ ger, top = 375 ise, top 1 = 374 olur ki, 374, 8’in
2401 olabilir.
katı olmadı˘ gından bu durum olamaz. 4
E˘ ger, top 1 = 375 olursa, top = 376 olur. 8 = 4096 ise 8 6= 4 + 0 + 9 + 6 olaca˘ gından
3
376 = 2 47 oldu˘ gundan, bu durumu inceleyebiliriz. istenen ¸sart sa˘ glanmaz.
4
9 = 6561 ise 9 6= 6 + 5 + 6 + 1 olaca˘ gından
375 376 = 141 000
istenen ¸sart sa˘ glanmaz.
e¸sitli˘ gine göre, i = 1 ve y = 4 oldu˘ gundan y i = 3 O halde istenen ko¸sulu sa˘ glayan tek sayı 2401 olarak
olur. bulunur.