Page 342 - 8_sf_Dahimatik

˙
˙
˙
DAHIMATIK - Matematik Yarı¸smalarına Ilk Adım 341
Aritmetik, Geometrik ve Harmonik a; b; c pozitif reel sayıları için, abc = 4
Ortalamalar Arasındaki E¸sitsizlikler oldu˘ guna göre,
1 2 3
+ +
a 3b 4c

F Ortalamalar ve E¸sitsizlikleri F ifadesinin alabilece˘ gi en küçük de˘ ger kaçtır?

F Aritmetik Ortalama : a 1 ; a 2 ; :::; a n sayılarının arit- A.O. G.O. e¸sitsizli˘ ginden,
metik ortalaması, 1 2 3
3 1 2 3
a 1 + a 2 + + a n + + r
a 3b 4c

n 3 a 3b 4c
biçimindedir. r 1
F Geometrik Ortalama : a 1 ; a 2 ; ; a n sayılarının = 3
2abc
geometrik ortalaması,
p olur. abc = 4 oldu˘ gu da kullanılırsa,
n
a 1 a 2 a 3 a n r
1 2 3 3 1 3
biçimindedir. + + 3 =
a 3b 4c 8 2
F Harmonik Ortalama : a 1 ; a 2 ; ; a n sayılarının
bulunur. Yani, verilen ifadenin alabilece˘ gi en küçük
harmonik ortalaması, 3
n de˘ ger ’dir.
1 1 1 2
+ + + 1 2 3 3=2 1
a 1 a 2 a n = = = =
a 3b 4c 3 2
biçimindedir.
için, e¸sitlik sa˘ glanır. Buna göre,
Pozitif sayıların, bu ortalamalar arasında 4 3
a = 2; b = ve c =
A.O. G.O. H.O. 3 2
e¸sitsizli˘ gi vardır. Herhangi ikisinin e¸sitli˘ gi durumu, için e¸sitlik sa˘ glanır.
sadece,
a 1 = a 2 = = a n
durumunda mümkündür. Bu e¸sitsizlik bir çok olimpiyat
probleminde kolayca çözüme ula¸smamızı sa˘ glar.
Örne˘ gin, a; b; c pozitif sayıları için
a + b + c p 3
3
abc
3 1 1 1
+ +
a b c
yazılır. E¸sitlik durumu a = b = c için sa˘ glanır.
a; b, c ve d pozitif sayıları için, abcd = 4
oldu˘ guna göre,
1 1 2 3
+ + +
a 2b 3c 4d
ifadesinin alabilece˘ gi en küçük de˘ ger kaçtır?

a; b pozitif reel sayıları için, ab = 8 ise,
a + b en küçük kaç olabilir?

A.O. G.O. e¸sitsizli˘ gine göre,
a + b p p p
ab = 8 = 2 2
2
yazılabilir. O halde,
p
a + b 4 2
p Yanıt : 2.
bulunur. Yani, en küçük de˘ geri 4 2 olur.