Page 343 - 8_sf_Dahimatik

˙
˙
˙
342 DAHIMATIK - Matematik Yarı¸smalarına Ilk Adım M.Özdemir
1
x pozitif bir reel sayı olmak üzere, 3x + x pozitif bir reel sayı olmak üzere,
x 3
ifadesinin alabilece˘ gi en küçük de˘ ger kaçtır? 1
2
x +
Verilen ifadeyi 4x
ifadesinin en küçük de˘ geri kaçtır?
1 1
3x + = x + x + x +
x 3 x 3
¸ seklinde yazalım. Buna göre, A.O. G.O. e¸sitsizli˘ gini
kullanırsak,
1
x + x + x + r
x 3 4 x x x 1 = 1
4 x 3
olur. Yani,
1
3x + 4 r
x 3 3 2 1 2 1 1 3 1 3
Yanıt : ’tür. (x + = x + + 3 = )
olmalıdır. x = 1 için e¸sitlik sa˘ glanır. 4 4x 8x 8x 64 4

n bir pozitif tamsayı ve x pozitif bir reel x y z
1 + + = 2 denkleminin kaç çözümü
sayı olmak üzere, nx + ifadesinin alabilece˘ gi en y z x
x n vardır?
küçük de˘ ger nedir? (U ˙ IMO - 2002)
A.O. G.O. e¸sitsizli˘ gini kullanırsak,
x y z
+ + r
y z x x y z
3 = 1
3 y z x
oldu˘ gundan,
x y z
Yanıt : n = 1 için, 2’dir. + + 3
y z x
elde edilir. O halde, verilen denklemde sol taraf 2’ye
e¸sit olamayaca˘ gından çözüm yoktur.
4
2
x pozitif bir reel sayı olmak üzere, x +
x
ifadesinin en küçük de˘ geri kaçtır?
Verilen ifadeyi, çarpıldıklarında x
kaybolacak ¸sekilde,
4 2 2 2
2
3
4
4
6
x + = x + + x; y; z 0 için, 15x + 3y + 8z 24x yz
x x x
oldu˘ gunu ispatlayınız.
biçiminde yazalım. ¸Simdi, A.O. G.O. e¸sitsizli˘ gini
kullanırsak, Verilen ifadenin sol tarafını,
2 2
2
x + + r p 6 4 4 6 6 4 4
2 2
x x 3 x = 3 4 15x + 3y + 8z = 6x + 9x + 3y + 8z
2
3 x x ¸ seklinde yazalım. Böylece, A.O. G.O.
elde edilir. Yani, e¸sitsizli˘ ginden,
4 p 6 6 4 4 p 6 6 4 4
2
4
3
x + 3 4 6x + 9x + 3y + 8z 4 6x 9x 3y 8z
x 3
p 2 24x yz
2
olur. x = 3 2 için e¸sitlik elde edilebilir ( = x ).
x oldu˘ gu görülür.