Page 344 - 8_sf_Dahimatik

˙
˙
˙
DAHIMATIK - Matematik Yarı¸smalarına Ilk Adım 343
xyz = 2 olmak üzere, x; y; z pozitif bir x; y; z > 0 ve x + y + z = 24 olmak üzere,
5
5
5
reel sayıları için, 17x + 2y + 28z 30x oldu˘ gunu 1 + 4 + 9 ifadesinin alabilece˘ gi en küçük de˘ ger
gösteriniz. x y
kaçtır?
"Harmonik ortalama Aritmetik
ortalama" e¸sitsizli˘ gini kullanaca˘ gız. Fakat bu defa,
x + y + z = 24 de˘ gerini kullanabilmek için, düzenleme
yapmalıyız. Buna göre, x; y ve z’yi terslerinin toplamı
1 4 9
;
5
5
5
5
5
5
5
Yanıt : 17x +2y +28z = 9x +8x +2y +27z +z 5 x y ve z olacak ¸sekilde,
¸ seklinde yazınız. x y y z z z
x + y + z = + + + + +
1 2 2 3 3 3
biçiminde parçalayabiliriz. Böylece, bu 6 sayının
harmonik ortalaması,
x; y; z > 0 ve 6x + 3y + 2z = 12 olmak
6 6
üzere, H.O. = =
1 2 2 3 3 3 1 4 9
1 2 3 + + + + + + +
+ + x y y z z z x y z
x y z elde edilir. Aritmetik ortalaması ise,
ifadesinin alabilece˘ gi en küçük de˘ ger kaçtır? A.O.
x y y z z z
+ + + + + x + y + z 24
"H. O. A.O" e¸sitsizli˘ gini kullanaca˘ gız. = 1 2 2 3 3 3 = = = 4
1 2 3 6 6 6
Buna göre, ; ; sayılarının harmonik ortalaması oldu˘ gundan, H:O: A:O: e¸sitsizli˘ ginden,
x y z
6
3 3 4
= 1 4 9
1 1 1 y z + +
+ + x + + x y z
1=x 2=y 3=z 2 3 1 4 9
3 6 yazılır. Buradan, + + ifadesinin alabilece˘ gi en
= x y z
6x + 3y + 2z küçük de˘ geri 3=2 bulunur.
18 3
= =
12 2
oldu˘ gundan, H.O. A.O. e¸sitsizli˘ ginden,
1 2 3
3 x + y + z

2 3
olur ki, buradan,
1 2 3 9
+ +
x y z 2
elde edilir.
x; y; z > 0 ve 36x + 9y + 4z = 12 olmak x; y; z > 0 ve x + y + z = 48 olmak
üzere, üzere,
1 4 9 4 25 1
+ + + +
x y z x y z
ifadesinin alabilece˘ gi en küçük de˘ ger kaçtır? ifadesinin alabilece˘ gi en küçük de˘ ger kaçtır?

Yanıt : 27: Yanıt : 4=3: