Page 38 - 8_sf_Dahimatik

˙
˙
˙
DAHIMATIK - Matematik Yarı¸smalarına Ilk Adım 37
Her harf sıfırdan farklı bir rakamı 250 sayfalık bir kitabın numaralandırıl-
göstermek üzere,AAA + BBB + CCC = ABBC masında 2 rakamı kaç kez kullanılmı¸stır?
ise, A + B + C kaçtır? (U ˙ IMO - 2006)

Yanıt : 106.
Yanıt : 18.

Kendisinden, basamaklarının toplamını
çıkardı˘ gımızda basamaklarının çarpımını elde Basit E¸sitsizlikler
etti˘ gimiz kaç pozitif tamsayı vardır? (U ˙ IMO - 2006)

Sayı iki basamaklı ise, ab (a + b) = a b F E¸sitsizliklerin Taraf Tarafa Toplanması F

denklemini çözece˘ giz.
Aynı yönlü e¸sitsizlikler taraf tarafa toplanabilir
(10a + b) a b = a b
a > b ve c > d ise, a + c > b + d’dir.
denkleminden, 9a = a b ve buradan b = 9 olur.
a 2 f1; 2; :::; 9g olabilece˘ ginden, 9 tane iki basamaklı
sayı elde edilir. Sayı 2’den fazla basama˘ ga sahip ise,
abc (a + b + c) = a b c
e¸sitli˘ ginden,
100a + 10b + c (a + b + c) = a b c
˙
Iki katının 5 fazlası 16’dan küçük olan bir
veya 9 11 a + 9 b = a b c olur. Fakat, bu e¸sitli˘ gin sayıyla, 5 katının 2 fazlası 25’den küçük olan ba¸ska
sa˘ glanması mümkün de˘ gildir. Çünkü, a; b ve c rakam
bir sayının toplamı en fazla hangi tamsayı olabilir?
oldu˘ gundan 9 11 a > a b c olur ve e¸sitli˘ gin sol
tarafı sa˘ g tarafından kesin olarak büyüktür. Benzer Verilenleri e¸sitsizlik olarak yazarsak,
dü¸sünce ile sayının 3’den daha büyük basama˘ ga sahip 2x + 5 < 16 ve 5y + 2 < 25 ¸seklinde olur. Bu iki
olamayaca˘ gı görülür. O halde, sadece 9 sayı vardır. e¸sitsizli˘ gi de düzenleyerek,
,
x < 5; 5 ve y < 4; 6
¸ seklinde yazabiliriz. Taraf tarafa toplarsak,
x + y < 10; 1 elde edilir. Yani, en fazla 10 olabilir.
300 sayfalık bir kitabın numaralandırıl-
masında 2 rakamı kaç kez kullanılmı¸stır?

2 sayısı birler basama˘ gında, 2, 12, 22, F E¸sitsizliklerin Bir Sayıyla Çarpılması F
32, ..., 282, 292 sayılarında yani, her 10 sayıda bir
kullanılaca˘ gından 30 kez kullanılır. 2 sayısı onlar Sayılar i¸saret de˘ gi¸stirirse e¸sitsizlik yön de˘ gi¸stirir. E¸sit-
basama˘ gında, sizli˘ gi negatif sayı ile çarpmak veya bölmek, e¸sitsizli˘ gin
20, 21,..., 29, 120, 121, ...,129, 220, 221,..., 229 yönünü de˘ gi¸stirir.
sayılarında toplam 30 kez kullanılır. Son olarak, 2 a > b ise a < b olur.
sayısı yüzler basama˘ gında
200, 201,..., 299
sayılarında, 100 kez kullanılacaktır. Böylece, toplam,
30 + 30 + 100 = 160 kez kullanılır.