Page 345 - 8_sf_Dahimatik

˙
˙
˙
344 DAHIMATIK - Matematik Yarı¸smalarına Ilk Adım M.Özdemir
Her a; b pozitif tamsayıları için, a; b; c; d pozitif reel sayıları için,
p p p
a + b 2a + 2b e¸sitsizli˘ gini ispatlayınız. 1 1 1 1
+ + + = 2
a + 1 b + 1 c + 1 d + 1
A.O. G.O. e¸sitsizli˘ ginden, oldu˘ guna göre,
p a + b a + b p
ab veya + ab a + b (a + 1) (b + 1) (c + 1) (d + 1) 16
2 2
p oldu˘ gunu gösteriniz.
yazılabilir. Buradan da, a + b + 2 ab 2a + 2b
p 2 p 2
yazabiliriz. Buna göre, a = ( a) ve b = ( b)
G.O. H.O. e¸sitsizli˘ ginden,
yazılarak, sırasıyla,
p
4
p 2 p p 2 (a + 1) (b + 1) (c + 1) (d + 1)
a + 2 ab + b 2 (a + b)
4
p 2 2
p p 1 1 1 1
a + b 2 (a + b) + + +
a + 1 b + 1 c + 1 d + 1
p p p
a + b 2a + 2b = 2
olur. olur. O halde,
4
(a + 1) (b + 1) (c + 1) (d + 1) 2 = 16
bulunur.
Aritmetik, geometrik ve harmonik ortalamalar arasındaki
e¸sitsizliklerle ilgili daha zor ve farklı soruları "Matematik
Olimpiyatlarına Hazırlık 1" kitabında bulabilirsiniz.
E¸sitsizlikler en geni¸s ¸sekilde "Matematik Olimpiyatlarına
Hazırlık 5" kitabında ele alınmı¸stır.