Page 347 - 8_sf_Dahimatik

˙
˙
˙
346 DAHIMATIK - Matematik Yarı¸smalarına Ilk Adım M.Özdemir
a; b; c kenarları tamsayı olan bir ABC
F Üçgenin Elemanları Arasındaki E¸sitsizlikler F
üçgeninde b a + 3c = 24 ve b < a ise, c kenarı en
ABC üçgeninde a; b; c kenar uzunluklarıdır. fazla kaç olabilir?
m(A) > m(B) > m(C)
Üçgen e¸sitsizli˘ gine göre,
oldu˘ guna varsayalım.Bu durumda üçgenin yardımcı el-
a b < c < a + b
emanları a¸sa˘ gıdaki gibi kenarların sırasına ters olarak
sıralanırlar. olmalıdır. Buna göre, a b = 3c 24 yazılırsa,
kenarlar : a > b > c; 3c 24 < c ) 2c < 24 ) c < 12
açıortaylar : n A < n B < n C ; elde edilir. O halde, c en fazla 11 olabilir.
yükseklikler : h a < h b < h c ;
kenarortaylar : v a < v b < v c :

m(A) > 90 oldu˘ guna göre x + y ’nin
olabilece˘ gi en büyük tamsayı kaçtır?
A

x
F Çevre ile Ilgili Bir Özellik F 7
˙

D
ABC üçgeninin içindeki herhangi bir P noktası için; 10
jAPj + jBPj + jCPj
B 6
toplamı ABC üçgeninin çevresinden büyük, çevresinin y
yarısından küçük olamaz. C

ABC üçgeninde,
10 7 < x < 10 + 7 ) 3 < x < 17
p
2
2
10 > 7 + x 2 ) x < 51
p
e¸sitsizliklerinden, 3 < x < 51 olur. BCD üçgeninde
(U ˙ IMO - 1997) ise,
Çevresi 100 ve kenarları tamsayı olan kaç tane 10 6 < y < 10 + 6 ) 4 < y < 16
ikizkenar üçgen vardır? yazılabilir. O halde,
p
7 < x + y < 16 + 51
bulunur. Buna göre, x + y en fazla 23 olabilir.

F Özel Üçgenler F

A
Üçgen e¸sitsizli˘ gine göre, 2y > x veya 60 o A
2x x 2x 45 o
2y x > 0 x x
olmalıdır. Çevresi, 30 o o
B C B 45 x
2y + x = 100 3x C
oldu˘ gundan, bu iki ifade taraf tarafa toplanırsa, 30 -60 -90 Üçgeni 45 -45 -90 Üçgeni

4y > 100 ve y > 25 elde edilir. Böylece,
y 2 f26; 27; :::; 49g olabilir. Yani, 49 26 + 1 = 24
üçgen vardır.