Page 349 - 8_sf_Dahimatik

˙
˙
˙
348 DAHIMATIK - Matematik Yarı¸smalarına Ilk Adım M.Özdemir
(UMO - 1996) Benzerlik
A¸sa˘ gıdaki ¸sekilde verilenlere göre
ax + by + cz =?
F Benzerlik ve Özellikleri F
A

c-z
y A
ABC DEF ise
a b c
F   ’dir.
d e f
z E c D
b
b-y
f e
B a-x D x C
B
a C E F
d

Pisagor teoreminden, Kar¸sılıklı açıları e¸s olan üçgenlere benzer üçgenler
denir. ¸Sekilde, ABC üçgeni ile DEF üçgeni benzerdir
2
2
jAKj = n + (c z) 2 denir ve
2
= x + y 2 ABC DEF biçiminde gös-terilir. Benzer üçgen-
lerde kar¸sılıklı kenarlar orantılıdır.
2
2
jBKj = n + z 2 a b c
2
= (a x) + (b y) 2 d = e = f = k
yazılabilir. e¸sitli˘ gi sa˘ glanır.
A
c-z
y

F F Benzerlik Özellikleri F
K
n x
z E F Benzer üçgenlerde orantılı kenarlara ait yükseklik-
lerin oranı benzerlik oranına e¸sittir.
b-y b-y
h a h b h c
B a-x D x C h d = h e = h f = k.
F Benzer üçgenlerde orantılı kenarlara ait kenar-ortay
uzunluklarının oranı benzerlik oranına e¸sittir.
Bu e¸sitlikleri taraf tarafa çıkarırsak,
v a v b v c
2
2
2
c 2cz = a + 2ax b + 2by = = = k.
v d v e v f
ve buradan, F Benzer üçgenlerde e¸s açılara ait açıortay uzunluk-
2

2
2 (ax + by + cz) = c + a + b 2 larının oranı benzerlik oranına e¸sittir.
= 2c 2 n A = n B = n C = k.
n D n E n F
e¸sitli˘ ginden F Benzer üçgenlerin çevrelerinin oranı benzerlik
ax + by + cz = c 2 oranına e¸sittir.
Çevre (ABC)
olur. = k:
Çevre (DEF)
F Benzer üçgenlerin alanlarının oranı benzerlik
oranının karesine e¸sittir.
Alan (ABC) 2
= k :
Alan (DEF)