Page 352 - 8_sf_Dahimatik

˙
˙
˙
DAHIMATIK - Matematik Yarı¸smalarına Ilk Adım 351
(UMO 1994) Üçgenlerde Alan
Bir ABC üçgeninde, jABj = jACj ; D 2 [BC] ;
m(CDA) = 2 ; m(ACB) = ; jCDj = x;
b
b
jDBj = 2; jCAj = y ise x ile y arasındaki ba˘ gıntıyı F Üçgende Alan F

bulunuz.
Üçgenin alanı bir kenarı ile o kenara ait yüksekli˘ gin
çarpımının yarısına e¸sittir.
a h a b h b c h c
Alan (ABC) = = = :
2 2 2

(U ˙ IMO 1998)

ABC bir uçgen, m(B) = 90 ; A açısının iç
b
m(DBA) = m(BAD) = oldu˘ gu hemen
b
b
açıortayına C noktasından indirilen dikmenini
görülebilir. Buradan, jADj = jBDj = 2 olur. Böylece, aya˘ gı D; AD ile BC do˘ grularının kesi¸sim noktası
taban açıları olan iki tane ABC ve DAB üçgenleri E olmak üzere, jAEj = 12 ve jEDj = 4 ise, AEC
bulunur ki, bu üçgenler (A:A)’dan benzerdir. üçgeninin alanı kaçtır?
jABj jBCj
ABC DAB ) =
jDAj jABj Aynı olan açıları yazarsak, Açı-Açı
y 2 + x benzerli˘ ginden, ADC CED olur. Buna göre,
) = x 4
2 y = ) x = 8
2
e¸sitli˘ ginden, y = 4 + 2x bulunur. 16 x
bulunur. Böylece,
jAEj x 12 8
A (AEC) = = = 48
2 2
elde edilir.
A

(UMO 1995) 12
A B E C
AK  ? 4 x
x
D
E
(UMO 1994)
K
o ABCD konveks dörtgeninde jABj = 12;
30
75 o jBCj = 4; jCDj = 3; jDAj = 13 ve
B D C

b
6 m(BCD) = 90 oldu˘ guna göre, Alan(ABCD) =?
Dörgeni çizersek ¸sekildeki gibi iki tane dik
Geri kalan açıları yazarsak, ABE; 30-60- üçgenden olu¸stu˘ gu görülür.
p p
90 üçgeni oldu˘ gundan, jBEj = 3 jAEj = 3x olur. 4
C B
Di˘ ger yandan, BEC ve AEK, 15-75-90 üçgenlerinin
benzerli˘ ginden, BEC AEK oldu˘ gundan, 3 5
p 12
jBEj jBCj 3a 6
= ) = D
jAEj jAKj a x
6 p 13
e¸sitli˘ ginden, x = p = 2 3 bulunur.
3 A
3 4 5 12
Buna göre, Alan (ABCD) = + = 36
2 2
bulunur.