Page 354 - 8_sf_Dahimatik

˙
˙
˙
DAHIMATIK - Matematik Yarı¸smalarına Ilk Adım 353

(UMO 1995) F Heron Alan Formülü F

F; [AC]’nin orta noktası ve D 2 [BC] ;
Çevre = a + b + c = 2u denilirse, Alan (ABC)
jDCj = 4 jBDj ; p
S = u (u a) (u b) (u c)
[BF] \ [AD] = fEg ;
ile bulunur.
Alan (DCFE) = 42
oldu˘ guna göre, Alan(ABE) kaçtır?

A

10S F
5S 2y D
E 2S 6S
y 6S 12 10
S
B x D 2x G 2x C
E
18 F
jBDj = x diyelim. [AD]’ye paralel [FG] do˘ gru
parçasını çizelim. Bu durumda, 12 + 18 + 10
u = = 20 oldu˘ gundan,
2
jAFj = jFCj p p
Alan(4ABC) = 20 8 2 10 = 40 2
oldu˘ gundan,
bulunur.
jGCj = jDGj = 2x
(U ˙ IMO 1999)
olur. Ayrıca,
Bir ABC üçgeninde, jABj = 14; jBCj = 12;
[ED] == [FG] ve jDGj = 2 jBDj
jACj = 10 ve D; [AC] üzerinde bir nokta olmak
oldu˘ gundan, üzere, jADj = 4 ’tür. E; [BC] üzerinde bir nokta ve
Alan(ABC) = 2Alan(CDE) ise Alan (ABE) =?
jEFj = 2 jBEj
elde edilir. jBEj = y diyelim. Buna göre, sırasıyla
Alan (AED) 4 2
Alan (BED) = S; Alan (CED) = 6 = 3
Alan (EDF ) = 2S;
oldu˘ gundan, Alan (AED) = 2S denilirse,
Alan (DFG) = 6S; Alan (CED) = 3S ve
Alan (FGC) = 6S; Alan (ABC) = 2 Alan (CDE) = 2 3S = 6S
Alan (DCFE) = 14S bulunur.
elde edilir. A
Alan (DCFE) = 42 4
ise, S = 3 bulunur. Böylece, 2S D
14
Alan (ABE) = 15
6
bulunur.
S 3S

B C
E
12
¸ Simdi Heron Alan formülünü uygulayarak, S de˘ gerini
bulalım. 2u = 14 + 12 + 10 = 36 oldu˘ gundan,
Üçgenin alanını e˘ ger yükseklik verilmemi¸s ve sadece p p
6S = 18 4 6 8 = 24 6
kenar uzunlukları verilmi¸s ise, Heron Alan formülüyle p
de bulabiliriz. e¸sitli˘ ginden, S = 4 6 bulunur.