Page 353 - 8_sf_Dahimatik

˙
˙
˙
352 DAHIMATIK - Matematik Yarı¸smalarına Ilk Adım M.Özdemir

F Üçgende Alanlar Oranı F (U ˙ IMO 1996)

BC DE
Yükseklikleri aynı olan üçgenlerin alanları oranı, o yük- A
AB FE
sekli˘ ge ait kenarların oranına e¸sittir.
A BD  2 DA
D E

c
b B C
F
T S
Alan (DEF)
=?
B C Alan (ABC)
m n
D
A DE==BC oldu˘ gundan,
jCEj = 2 jAEj
olur. Alanlar oranı, benzerlik oranının karesidir. Buna
göre,
T S Alan (ADE) 1
ADE EFC ) = ;
Alan (EFC) 4
E Alan (ADE) 1
ADE ABC ) =
B C Alan (ABC) 9
m n
D
yazılabilir. Alan (ADE) = S diyelim.
Alan (EFC) = 4S ve Alan (ABC) = 9S
olur. Bu durumda,
A Alan (BFED) = 9S 5S = 4S
FC  3 AF ve
olur. Ayrıca, BFED bir paralelkenar oldu˘ gundan,
BC  4 BD  3 DE
Alan (BDF ) = Alan (DEF) = 2S
F olduğuna göre,
olur. Böylece,
( A ABC )
 ? Alan (DEF) 2S 2
( A DEF ) = =
Alan (ABC) 9S 9
B C bulunur.
D E
A
jBCj = 12x diyelim. Bu durumda,
jBDj = 3x, jDEj = 4x ve jECj = 5x olur. x y
A (DEF) = 12S diyelim. Bu durumda, S
D E
A (ECF ) 5 A (BDF) 3
= ve = 2S
A (DEF) 4 A (DEF) 5 2y
2x 4S
oranından, 2S
A (ECF ) = 15S ve A (BDF ) = 9S
B F C
olur. Böylece,
A (BCF ) = 12S + 15S + 9S = 36S
bulunur. jFCj = 3 jAFj oldu˘ gundan da,
A (ABF) = (36=3) S = 12S bulunur. Sonuç olarak,
A (ABC) = 48S ve
A (ABC) 48S
= = 4
A (DEF) 12S
bulunur.