Page 355 - 8_sf_Dahimatik

˙
˙
˙
354 DAHIMATIK - Matematik Yarı¸smalarına Ilk Adım M.Özdemir

(UMO 2001) F Menelaus Teoremi F

Bir ABC üçgeninde, jBCj = 7 ve jABj = 9’dur.
Bir ABC üçgeninde, bir do˘ gru kenarları, D; E; F nok-
m(ABC) = 2m(ACB) ise üçgenin alanını bulunuz.
b
b
talarında ¸sekilde gibi kesiyorsa,
A A jADj jBFj jCEj
= 1
y jDBj jCFj jEAj
2θ D e¸sitli˘ gi sa˘ glanır.
9 9
x A
x k m y n

2θ θ θ θ θ k . .  1
B C B C x y z
7 7 z
D
B kö¸sesinden [AC] kenarına açıortay x E
çizelim. Bu durumda, BDC ikizkenar olur.
m(BDA) = 2 olaca˘ gından, Açı-Açı benzerli˘ ginden, n
b
ABC ADB benzerli˘ gi olacaktır. B m C y F
Böylece, jADj = y denilerek,
jABj jACj jBCj 9 y + x 7
= = ) = =
jADj jABj jDBj y 9 x
2
˙
elde edilir. Ilk iki e¸sitlikten, y + yx = 81; son iki (UMO 1996)
2
e¸sitlikten de, yx + x = 63 bulunur. Bunlar taraf tarafa
2 Bir XOY açısının OX kenarı üzerinde, jOAj = 3;
b
toplanırsa, (x + y) = 144 e¸sitli˘ ginden, x + y = 12
jODj = 5 olacak biçimde A ve D noktaları, OY
elde edilir. u = (7 + 9 + 12) =2 = 14’tür. Böylece,
kenarı üzerinde de jOCj = 4 ve jOBj > 4 olacak
Heron Alan formülünden,
p p bçimde C ve B noktaları için, [AB] \ [CD] = fEg
Alan (4ABC) = 14 7 5 2 = 14 5 ve jAEj jOBj = 3 jEBj ise jOBj =?
bulunur.
Verilenleri çizelim.
Y
B
x
C
E
4
F Ceva Teoremi F

O 3 A 2 D X
Bir ABC üçgeninde, kö¸selerden kenarlara çizilen,
¸ Simdi, OAB üçgeninde, CD kesenine göre Menelaus
[AF] ; [BE] ve [CD] do˘ gru parçaları bir noktada kesi¸si-
teoremini uygulayalım.
yorsa,
x 5 jAEj
jADj jBFj jCEj = 1
= 1 4 2 jEBj
jDBj jFCj jEAj
olur. Soruda verilen e¸sitli˘ ge göre,
e¸sitli˘ gi sa˘ glanır.
jAEj 3 3
A = =
E jEBj jOBj 4 + x
C yazılabilir. Böylece„
x 5 3 32

D 4 2 4 + x = 1 ) x = 7
F ve
32 60
jOBj = 4 + =
7 7
B bulunur.