Page 356 - 8_sf_Dahimatik

˙
˙
˙
DAHIMATIK - Matematik Yarı¸smalarına Ilk Adım 355

F Ceva Teoreminin Kar¸sıtı F (UMO 1996)

Bir XOY açısının OX kenarı üzerinde, jOAj = 3;
b
Bir ABC üçgeninde, kö¸selerden kenarlara çizilen
jODj = 5 olacak biçimde A ve D noktaları, OY
do˘ gru parçaları,
kenarı üzerinde de jOCj = 4 ve jOBj > 4 olacak
[AB] ; [AC] ve [BC]
bçimde C ve B noktaları için, [AB] \ [CD] = fEg
kenarlarını sırasıyla D; E ve F noktalarında kessin. ve jAEj jOBj = 3 jEBj ise jOBj =?
jADj jBFj jCEj
= 1 Verilenleri çizelim.
jDBj jFCj jEAj
e¸sitli˘ gi sa˘ glanırsa,
Y
[AF] ; [BE] ve [CD] B
x
do˘ gru parçaları bir noktada kesi¸sirler.
A C
E E
C 4
D X
F O 3 A 2 D

B jAEj jOBj = 3 jEBj

) jAEj jOBj = jOAj jEBj
jOBj jEBj
) =
jOAj jAEj
orantısı, OE’nin açıortay oldu˘ gunu gösterir. Bu
Açıortay Teoremi durumda, jCEj = 4k ise, jEDj = 5k olur.
Y
B

F Açıortay Teoremi F
x
A C
c m 4k

b n 4 E
ve 5k
c

x  bc mn X
x b O F A 2 D
eşitlikleri
sağlanır ¸ Simdi, [AB]’ye paralel [CF] do˘ gru parçasını çizelim.
B C Böylece, benzerlik ba˘ gıntılarını kullanabilece˘ giz.
m N n
AED FCD
˙ Iç Açıortay Teoremi oldu˘ gundan,
A 5 2
=

c m n 9 2 + jAFj

b n olur. Buradan
c 8 8 7
b jAFj = ve jOFj = 3 =
5 5 5
bulunur. Son olarak,
OCF OBA
B
m C n N
benzerli˘ ginden,
Dı¸s Açıortay Teoremi 4 7=5
=
jOBj 3
60
yazılabilir ki buradan jOBj = bulunur.
7
Bir önceki soruyu, Açıortay teoreminden tekrar çözelim.