Page 360 - 8_sf_Dahimatik

˙
˙
˙
DAHIMATIK - Matematik Yarı¸smalarına Ilk Adım 359

(UMO 1994) FÇemberde Alan F

A
B
r
O R P

p
jABj = 2 3 ve çemberlerin alanları toplamı 10
oldu˘ guna göre, R + r kaçtır?

Te˘ get iki çemberin merkezlerini birle¸stiren
do˘ grunun uzunlu˘ gu R + r’dir. ¸Sekilden takip edilirse,
p
jOHj = R r ve jHPj = 2 3
olur. Böylece, Pisagor teoreminden,
p
2
2
(R r) + (2 3) = (R + r) 2
e¸sitli˘ ginden, 2rR + 12 = 2rR veya 2rR = 6 ( )
elde edilir.
A B
R r
H (U ˙ IMO 1998)
R-r r
O R P [AB] çaplı O merkezli bir çemberin [OB]
yarıçapının orta noktası C, C noktasıdan geçen bir
kiri¸s [DE], m(BCD) = 45 ve bu çemberin alanı

b
8 ise jDEj =?
Di˘ ger yandan, alanları toplamından, p
2
2
2
2
2
A = R + r = 10 ) r + R = 10 ( ) Alan = r = 8 e¸sitli˘ ginden, r = 2 2
olur.
2
olur. ( ) ve ( ) e¸sitliklerini toplarsak, (r + R) = 16 p
jOEj = jOBj = 2 2 ve
ve r + R = 4 bulunur. p
jOCj = jCBj = 2
olur. Di˘ ger yandan,
m(BCD) = 45
b
ise, O’dan H’ye dik indirdi˘ gimizde, 45-45-90
(UAMO - 2007)
üçgeninden,
jOHj = jHCj = 1
.
. elde edilir. Böylece, Pisagor teoreminden,
9 p p
4
. jEHj = 8 1 = 7
ve
Bir do˘ gruya ve birbirine dı¸stan te˘ get üç çemberin
yarıçapları 9; x ve 4’tür. r kaçtır? jEDj = 2 jEHj
p
olaca˘ gından, jEDj = 2 7 bulunur.
A B
R r
H D
R-r r
O R P
A O 2 45 o C 45 o 2 B
˙
Ipucu Herhangi iki çember için, jABj = jO 2 Dj = 2 2 H
p
2 ab oldu˘ gunu bulunuz ve üç çember için bu formülü
kullanınız.
E
Yanıt : r = 36=25.