Page 361 - 8_sf_Dahimatik

˙
˙
˙
360 DAHIMATIK - Matematik Yarı¸smalarına Ilk Adım M.Özdemir
(UAMO - 1997)

s
P
t
r N
A B
O

¸ Sekildeki küçük çemberin yarıçapı 3, büyük
p
çemberin yarıçapı da 3 2’dir. Küçük çember, ¸ Sekilde, [AB] do˘ gru parçası, O merkezli ve r
yarıçaplı çemberin çapıdır. P merkezli ve s
büyük çemberin merkezinden geçiyorsa, taralı
bölgenin alanı nedir? yarıçaplı çember, r yarıçaplı çembere te˘ gettir ve
[AB]’ye de O noktasında te˘ gettir. N merkezli
Çemberlerin kesi¸sim noktalarına A ve B; ve t yarıçaplı çember ise daha önce sözü edilen
küçük çemberin merkezine O ve büyük çemberinkine iki çembere ve [AB] do˘ gru parçasına te˘ gettir. r
de N diyelim. [OA] ve [OB]’yi çizelim. A; O; B’nin yarıçaplı dairenin alanı t yarıçaplı dairenin alanının
do˘ grusal oldu˘ gunu ve dolayısıyla [AB]’nin küçük kaç katıdır?
çemberin çapı oldu˘ gunu görelim.
jOAj = jONj = jOBj = 3;
p
jNAj = jNBj = 3 2 C
e¸sitliklerinden 4NOA ve 4NOB üçgenleri 45-45-90
üçgenidir. Yani, [AB] uzunlu˘ gu küçük çemberin çapı
P
ve
r t t
m(ANB) = 90 2 D N
b
t t
olur. Alanları ¸sekildeki gibi S 1 ve S 2 ¸seklinde A O B
gösterelim. r

PDN üçgeninden
r 2 r 2
2
jNDj = + t t = 2rt
2 2
S 1 + S 2 toplamı küçük çemberin yarısıdır ve alanı : ve OND üçgeninden,
2
2
2
2
r 2 9 jNDj = (r t) t = r 2rt
S 1 + S 2 = =
2 2 olur. Böylece,
oldu˘ gu açıktır. Di˘ ger yandan, S 1 alanı ise, büyük r 2rt = 2rt
2
çemberin dörtte biri olan ANBA çeyrek çemberinin
alanından 4ANB üçgeninin alanı çıkarıtılarak e¸sitli˘ ginden
bulunabilir.
p r = 4t
(3 2) 2 3 6 9
S 2 = = 9 bulunur. O halde,
4 2 2
2
2
oldu˘ gundan, S 2 alanı : Alan = r = (4t) = 16 t 2
9 9 e¸sitli˘ ginden r yarıçaplı dairenin alanının, t yarıçaplı
S 1 = 9 = 9
2 2 dairenin alanının 16 katı oldu˘ gu görülür.
bulunur.