Page 366 - 8_sf_Dahimatik

˙
˙
˙
DAHIMATIK - Matematik Yarı¸smalarına Ilk Adım 365
Dörtgenler Taralı alan 8 br ise karenin alanı kaçtır?
2
E

F Dörtgenlerde Alanlar Arasındaki Ba˘ gıntılar F

Bir dörtgende kö¸segenlerle ayrılan alanlar ¸sekildeki
D C
gibi, S; T; P ve Q ise, S T = P Q e¸sitli˘ gi sa˘ glanır.

D
A
S A B
P Q
E
[AD ı¸sınını uzatarak, DFE dik üçgenini
T
B C çizelim. Böylece 30-60-90 üçgeni elde ederiz.
F a/2 o E
Kö¸segenlerin arasındaki açı ise, 60
a
1 o
Alan (ABCD) = jACj jBDj sin 30
2
D C
ile bulunur. (Trigonometri’ye bakınız.)
D a
A
θ A B
a
B C jDEj=jADj=a oldu˘ gundan, jEFj= olur. Böylece,
2
1 a a 2
Taral{ Alan = a = = 8
2 2 4
2
ise a = 32 bulunur. Bu ise Karenin alanıdır.
(UMO 1993)
A (ABCD) = 25 ve S 1 S 2 = 5 ise S 4 =?
D C
S 2
S 3 S 4
E
S 1
B
A
(U ˙ IMO 1998)
S 2 = y ve S 4 = x; diyelim. S 1 = 5 + y
ABCD bir dikdörtgen, [CD] nin orta noktası
olur ve
E, [EA] nın orta noktası F, jABj = 4 ve bu
S 1 + S 3 = S 1 + S 4 jBFj
dikdörtgenin alanı 8 ise, =?
jAFj
e¸sitli˘ ginden de S 3 = S 4 = x olur. Di˘ ger yandan,
p
jAEj S 3 S 1 x 5 + y ¸ Sekilden takip ediniz. Yanıt 5:
= = ) =
jECj S 2 S 4 y x 2 E 2
2
2
e¸sitli˘ ginden, x = y + 5y bulunur. Son olarak, tüm D C
alan 25 oldu˘ gundan,
(5 + y) + y + x + x = 25 ) y = 10 x 2 F
bulunur. Buradan, 45 o
2
2
2
x = (10 x) + 5 (10 x) = x 25x + 150 45 o 1
45 o
e¸sitli˘ ginden, x = 6 elde edilir. A 1 H 3 B