Page 368 - 8_sf_Dahimatik

˙
˙
˙
DAHIMATIK - Matematik Yarı¸smalarına Ilk Adım 367
Yamuk (U ˙ IMO 1999)
Bir e¸skenar üçgenin kenarları, kö¸seleri üçgenin
çevrel çemberi üzerinde bulunan, tabanı ise bu
F Yamuk ve Alanı F
çemberin çapı olan bir yamu˘ gun üç kenarına
paraleldir. Üçgenin alanının, yamu˘ gun alanına
Sadece iki kenarı birbirine paralel olan dörtgene yamuk
oranı nedir?
denir.
D C
¸ Sekildeki gibi KLMN yamu˘ gunu ve ABC e¸skenar
E F üçgenini çizebiliriz. Çemberin merkeziyle, yamu˘ gun
Orta taban kö¸selerini birle¸stirelim. Bu durumda, KLMN
h
yamu˘ gunun kenarları r olan üç e¸skenar üçgenden
A B olu¸stu˘ gunu görürüz. Böylece,
H
p
2
r 3
Yamu˘ gun alanı, ortataban jEFj ile yüksekli˘ gin A (KLMN) = 3
çarpımına e¸sittir. Yani, 4
bulunur. Di˘ ger yandan, ABC e¸skenar üçgeninin bir
jABj + jDCj
A (ABCD) = h kenarını da, merkezden [BC] kenarına dik indirerek
2 olu¸sturaca˘ gımız 30-60-90 üçgeninden bulabiliriz. Buna
ile bulunur. göre,
p
jBCj = r 3
bulunur. Böylece,
(UMO 1993) p p
(r 3) 2 3 3 2 p
Verilenlere göre jEFj =? A (ABC) = 4 = 4 r 3
bulunur. Sonuç olarak,
p
r 2 3
3
A (ABC) 4
= = 1
A (KLMN) 3 p
r 2 3
4
olur.
E noktasından, AD’ye [EK] paralelinin
ve CB’ye paralel [EM] paralelini çizelim. A
m(A) = 180 138 = 42 K N

oldu˘ gundan, paralellikten m(EKF)=42 ;

b
m(EMF)=48 olur. Böylece, EKM üçgeninde, r r r

c
r

m(KEM) = 90 oldu˘ gu görülür. Di˘ ger taraftan o
b
paralellikten, kenarları a cinsinden ¸sekildeki gibi L 60 o 60 o 60 60 o 60 o M
yazabiliriz. Böylece, [EF] ; KEM dik üçgeninde r
dik kö¸seye ait kenarortaydır ve e¸sit ayırdı˘ gı parçalara 60 o 30 o
e¸sittir. Yani, jEFj = jKFj = a bulunur. B C
D a E a H r 3
o C
138 2
o o o o
42 42 48 48
A B
a K a F a M a