Page 41 - 8_sf_Dahimatik

˙
˙
˙
40 DAHIMATIK - Matematik Yarı¸smalarına Ilk Adım M.Özdemir
15 6 7
< < ko¸sulunu sa˘ glayan kaç n 1’den m n’ye kadar olan do˘ gal sayılar, m
39 n 13
pozitif tamsayısı vardır? satırı ve n sütunu olan bir tabloya, birinci satırdan
ba¸slanarak artan sıra ile yazılmı¸stır. 20 sayısı
(U ˙ IMO - 2006)
üçüncü satırda, 41 sayısı be¸sinci satırda ve 103
sayısı sonuncu satırda yazılmı¸ssa, m + n toplamı
kaçtır? (UAMO - 1997)
15 6 7
< <
39 n 13 20 sayısı üçüncü satırda oldu˘ gundan,
2n < 20 3n olaca˘ gından,
e¸sitsizli˘ gindeki kesirleri altüst edersek,
39 n 13 7 n 9 ( )
> >
15 6 7 elde edilir. 41 sayısı da, be¸sinci satırda oldu˘ gundan,
olur. Yani, e¸sitsizlik yön de˘ gi¸stirir. Her tarafı 6 ile 4n < 41 5n olaca˘ gından,
çarparsak, 41
n > 8 ise, n 9 ( )
78 78 5
< n <
7 5 elde edilir. Buna göre, ( ) ve ( ) e¸sitsizliklerinden
n = 9 bulunur. ¸Sekildeki gibi çizebiliriz.
yani,
…
11; 143 < n < 15; 6 1. 2. 9.
1. satır
e¸sitsizli˘ gi elde edilir. n 2 Z için, 2. satır
3. satır 20
11 < n < 16
4. satır
olmalıdır. O halde, n sayısının olabilece˘ gi tamsayı 5. satır 41
.
de˘ gerleri 12; 13; 14; 15 olarak bulunur. .
.
¸ Simdi, 103 sayısı sonuncu satırda ise, m tane satır
oldu˘ gundan,
9(m 1) < 103 9m
m; n; k pozitif tamsayılar olmak üzere,
yazılabilir. E¸sitsizli˘ gin sol tarafından,
1 m 1 m + k
< ve m = 103
7 n 3 k 9(m 1) < 103 ise, m 1 < ve buradan da
m 9
sa˘ glanacak ¸sekilde kaç tane kesiri vardır?
n 112
(UAMO - 2005) m < = 12; 4;
9
m + k
m = e¸sitli˘ ginde k’yı m cinsinden yani, m 12 olmalıdır. E¸sitsizli˘ gin sa˘ g tarafından
k da,
yazalım. Bunun için, içler dı¸slar çarpımı yaparsak,
mk = m + k 103 9m
ve buradan da, mk k = m e¸sitli˘ ginden, yani,
k (m 1) = m 103
m = 11; 4 > 11
olur. Böylece 9
m elde edilir. Buradan,
k =
m 1 11 < m 12
elde edilir. k tamsayı oldu˘ gundan, olaca˘ gından m = 12 olur. O halde,
m 1 = 1; yani m = 2 m + n = 21
olmalıdır. Demek ki, bulunur.
1 2 1
<
7 n 3
e¸sitsizli˘ gini sa˘ glayan pozitif n’lerin sayısını
bulmalıyız. Yukarıdaki e¸sitsizlikten 6 < n 14 elde
edilir. Buradan,
n = 7; 8; 9; 10; 11; 12; 13; 14
bulunur.